miércoles, 6 de enero de 2016

Divisibilidad en Primaria.



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Alusiones a la DIVISIBILIDAD en la Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía.

Criterio de evaluación (para 3º ciclo de Primaria):
C.E.3.4. Leer, escribir y ordenar en textos numéricos académicos y de la vida cotidiana distintos tipos de números (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas), utilizando razonamientos
apropiados e interpretando el valor de posición de cada una de sus cifras.


2.10. Divisibilidad: múltiplos, divisores, números primos y números compuestos. Criterios de divisibilidad.2.25. Obtención de los primeros múltiplos de un número dado.2.26. Obtención de todos los divisores de cualquier número menor que 100.
Criterio de evaluación (para 3º ciclo de Primaria):
C.E.3.5. Realizar, en situaciones de resolución de problemas, operaciones y cálculos numéricos sencillos, exactos y aproximados, con números naturales y decimales hasta las centésimas, utilizando diferentes procedimientos mentales y algorítmicos y la calculadora.
2.25. Obtención de los primeros múltiplos de un número dado.2.26. Obtención de todos los divisores de cualquier número menor que 100.

En Primaria se puede afirmar que el primer acercamiento a los contenidos propios de la DIVISIBILIDAD se produce con la construcción de las series aritméticas ascendentes comenzando por el cero, es decir, contando de "tantos en tantos" a partir de cero. Este es el procedimiento de construcción de la serie ordenada de los múltiplos de un número cualquiera.

Si contamos una cantidad de billetes de 5 euros y vamos anotando los valores obtenidos tendremos una serie ordenada de múltiplos del 5. La construcción de la propia serie sirve como estrategia para resolver problemas tales como:
  • ¿Puedo conseguir 35 euros sólo con billetes de 5 euros? ¿Y 42 euros?
  • ¿Cuántos billetes de 5 euros se necesitan para juntar 55 euros?
Si visualizamos la serie de los múltiplos de 60, por ejemplo, encontraremos números terminados exclusivamente en 60 - 20 - 80 - 40 - 00 ...lo que facilita el descubrimiento y expresión de un criterio para determinar si un número determinado es, o no, múltiplo de 60.

Contar de "tantos en tantos" a partir del cero es la base de la construcción de las tablas de multiplicar pitagóricas (que también son las tablas de dividir). Es indudable que éstas han de construirse y memorizarse ya que constituyen un conjunto relativamente reducido de hechos numéricos indispensables para alcanzar competencia en el cálculo multiplicativo. 

En la tradición escolar la primera fase del aprendizaje de las tablas es una tarea totalmente convergente (7 x 5 = 35, factores --->producto), lo cual es lógico. La expresión de esta relación de todas las maneras posibles  es la verdadera expresión de la relación de DIVISIBILIDAD (7 x 5 = 35 --->5 x 7 = 35 ---> 35 : 7 = 5 ---> 35 : 5 = 7 ) y permite introducir el vocabulario específico básico (producto, factor, múltiplo, divisor...) y conceptos ligados a esos términos.

Dado que “divisor” tiene significados diferentes como uno de los términos de una división y como factor de un número, un contexto ideal para la introducción del vocabulario específico de la DIVISIBILIDAD es la división exacta ya que en ella el divisor es realmente factor o divisor del dividendo (lo que no es cierto para la división entera).

Los que apostamos por un cálculo pensado y flexible a partir de la descomposición numérica  vemos la necesidad de adelantar contenidos de divisibilidad para la realización de multiplicaciones y divisiones “por partes”. Nótese, por ejemplo, que la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o resta es una consecuencia directa del hecho de que la suma (o resta) de dos múltiplos de un número es un nuevo múltiplo del número:

  • 6 x 45 = 6 x (40 + 5) = 240 + 30 = 270 (hemos obtenido el múltiplo de 6 deseado – el 270- como suma de otros dos múltiplos de 6)
  • 6 x 45 = 6 x (50 - 5) = 300 - 30 = 270 (hemos obtenido el múltiplo de 6 deseado – el 270- como resta de otros dos múltiplos de 6)

También en la división el dividendo puede distribuirse y permitir una realización de la división por partes en la que todas y cada una de las partes (si la división es exacta) pueden ser múltiplos del divisor o todas menos una (si la división es entera):
  • 153 : 9 = (90 + 63) : 9 = 10 + 7 =17.
  • 154 : 9 = (90 + 63 + 1) : 9 = 10 + 7 + 1/9 = 17 + 1/9.

Es por ello que la multiplicación debe transcender el simple conocimiento y uso de las tablas pitagóricas y ser una búsqueda pensada de múltiplos.


Evidentemente la relación de divisibilidad es reversible. Por eso, a partir de aquí, hay que retomar y enfocar las tablas de multiplicar no sólo en la dirección convergente (factores ---> producto) sino, sobre todo, en la dirección divergente (producto ---> factores) a la par que se “extienden” éstas por ser partes de conjuntos más amplios (cualquier número tiene infinitos múltiplos...).

Buscar dos o más factores para un número es un proceso divergente (creativo), como he mencionado anteriormente. Si hasta este momento el/la alumno/a tenía que saber que 7 x 8 = 56, ahora debe descubrir y formalizar que 56 = 7 x 8; 56 = 4 x 14; 56 = 2 x 28; etc.

Este hecho divergente permite apreciar y obtener ya diferentes formas de agrupar una determinada cantidad de objetos (56 caramelos ---> 7 bolsas x 8 caramelos/bolsa ; 56 caramelos ---> 4 bolsas x 14 caramelos/bolsa; etc.).

A partir de aquí, la progresión en el dominio de la divisibilidad puede seguir diferentes caminos que acaban solapándose unos con otros y reforzándose:

domingo, 22 de noviembre de 2015

Formatos interactivos para la enseñanza-aprendizaje del cálculo de divisiones.



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En su día, la publicación de "Así calculamos en mi cole" supuso la oferta más extensa, variada y evolucionada de formatos digitales interactivos para la enseñanza-aprendizaje de un cálculo Pensado y Flexible a partir de la Descomposición Numérica. Entre esos formatos destacaban por su innovación aquellos que mostraban algoritmos numéricos, extendidos y flexibles, de las operaciones desarrollándose a la par y en correspondencia con las acciones realizadas por los/as alumnos/as sobre elementos gráficos y manipulativos presentes en las pantallas... Ese aspecto tan interesante desde el punto de vista didáctico ha marcado y marcará tendencia. De hecho están apareciendo algunas aplicaciones con este mismo propósito pero demasiado toscas aún en su interactividad y excesivamente elementales en relación con la naturaleza de los retos propuestos a los/as alumnos/as...

Fiel al principio de la evolución y mejora continua, en coherencia con la gran riqueza, variedad, excelente interactividad y creatividad de los modelos dinámicos que ofrece Didactmaticprimaria para todos y cada uno de los bloques del currículo de matemáticas, aquellos también han sufrido mejoras y ampliaciones.

Así, para la división, he desarrollado aplicaciones con el mismo funcionamiento que las que ilustran la división con billetes y monedas del euro (sin y con decimales) aunque con etiquetas numéricas (sin y con decimales) para que las diferentes nacionalidades y monedas no supongan un hándicap en su uso. A su vez, estas aplicaciones incorporan mejoras sutiles en relación con la corrección de manipulaciones y/o respuestas erróneas (como el bloqueo/desbloqueo de billetes y monedas -ídem para etiquetas-) colocadas en las zonas de reparto…

Por otra parte, se ha incorporado la división con regletas de Cuisenaire (que no figuraba en "Así calculamos en mi cole"-2010-2011) gracias a la implementación de un sencillo y eficaz “cortador de regletas”. También “Repartiendo pastelillos en platos” supone una mejora (en cuanto a funcionamiento, generalidad e interactividad) de  una aplicación análoga para ilustrar la división que se incluía en “MatemáTICas Primaria” (2007-2008)…

También la división a partir de la descomposición del dividendo en múltiplos del divisor se ha ampliado y conectado directamente con la multiplicación mediante la aplicación Número de veces que contiene el dividendo al divisor.

De manera intencionada no ofrezco en este menú la aplicación interactiva para tratar de manera gradual el algoritmo tradicional de la división que incluí en MatemáTICas Primaria. ¿Por qué? Pues simplemente porque no tendría cabida dentro de un cálculo que he etiquetado como PFDN (simplemente para indicar que no debe asociarse ni atribuirse a ninguna otra etiqueta) y porque yo no lo utilizo con mis alumnos/as.



domingo, 15 de noviembre de 2015

Modelos TICs de Resolución de Problemas de Matemáticas en el VI Encuentro Provincial del profesorado de Matemáticas. Sevilla.

Cartel del VI Encuentro.

La Universidad Pablo de Olavide acogió los días 11, 12 y 13 de noviembre del 2015 el VI Encuentro Provincial del Profesorado de Matemáticas de Sevilla, cuyo lema es "Matemáticas con arte".

La conferencia inaugural del encuentro, a cargo de D. Ángel Requena Fraile se dedicó al Turismo matemático como recurso didáctico. Tengo que reconocer que era como escuchar a un sabio. ¡Genial! El título coincide con el de un blog suyo desde el que se pueden descargar las interesantísimas diapositivas de su presentación, aunque no son nada comparadas con sus comentarios. En el blog, en cambio, aparecen comentadas.

"El arte con matemáticas es, si cabe, más bello.  Las matemáticas no son sólo una ciencia útil para la vida material o una aventura del pensamiento, también son un instrumento para el goce..."

Por mi parte, durante los días 11 y 12 colaboré en el VI Encuentro impartiendo el taller MODELOS TICs DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Aunque el texto completo del taller no es un formato adecuado para transmitir el contenido de un taller eminentemente interactivo y no supone sino un conjunto de brochazos gruesos para tratar de describir gráficamente esta temática, lo ofrezco aquí para quien pudiera estar interesado:

Acceso a los textos completos de los TALLERES.
Acceso a los textos completos de la COMUNICACIONES.

domingo, 8 de noviembre de 2015

20 problemas aditivos de cambio. Animados. Para 1º de Primaria.

20 Problemas animados, aditivos, de CAMBIO. Para 1º de Primaria.


No cabe duda de que las TICs pueden ofrecer nuevos escenarios (en la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS) con nuevas posibilidades (corrección - autorregulación del proceso-, interactividad, simulación, experimentación, mayor  riqueza en los lenguajes de presentación, mayor variedad y control en las fases intermedias de resolución, mayor variedad en la forma de resolver un problema, etc...). Y no cabe duda de que Didactmaticprimaria ha profundizado de manera pionera en estos aspectos.
                
Esta aplicación presenta un modelo TIC de resolución no rutinaria de elementales problemas aditivos de CAMBIO que puede englobarse, a su vez, dentro del metamodelo de ESTRUCTURACIÓN.
                
En los problemas de cambio se parte de un conjunto inicial de elementos a los que se agrega o quita una cantidad de elementos de la misma naturaleza. De esta manera, las partes constituyentes del problema son la SITUACIÓN INICIAL, EL CAMBIO PRODUCIDO Y LA SITUACIÓN FINAL. La manera más rutinaria y frecuente de presentarlos es de forma verbalizada, fundamentalmente escrita (con frecuencia ilustrados con una imagen estática), dando dos cualesquiera de estas partes y preguntando por la tercera.
               
En esta aplicación, gracias a las TICs, SE REDUCE LA ABSTRACCIÓN haciendo hincapié en la visualización del cambio (y de las situaciones inicial y final) permitiendo pasar de manera gráfica y dinámica de la situación inicial a la final, y viceversa. De esta manera, además de hacer más atractivo el problema, se hace más patente la reversibilidad que caracteriza a cualquier problema aditivo de cambio: si de la situación inicial se pasa a la final aumentando, de la situación final se pasará a la inicial disminuyendo la misma cantidad, y viceversa. La reversibilidad del pensamiento puesto en juego en la resolución de estos problemas facilitará la reinterpretación de un problema de suma en otro de resta, y viceversa. Ser hace así más patente que suma y resta son la misma estructura aditiva.
                
No se facilitan a los/as alumnos/as  los datos de manera explícita ni se formula pregunta alguna. Resolver el problema aquí es completar con números un texto sencillo que se aproxima a un argumento lógico que relaciona la situación inicial, la final y el cambio producido. Por lo general bastará interpretar correctamente la situación y contar los elementos gráficos para determinar cuantitativamente situación inicial, cambio y situación final. Pero no siempre esto es posible para alumnos/as  de estas edades (primero de Primaria, como referencia) dado que el cambio es dinámico, diferentes elementos se mueven a la par y esto dificulta su recuento...En estos casos el cambio puede considerarse como  desconocido y tendrá que deducirse de la situación inicial y final. 
                               
Los/as alumnos/as pueden completar los tres datos numéricos correspondientes a los tres elementos del problema en el orden que deseen. El texto a completar  no  siempre  se  ajusta  a la secuencia temporal implícita o explícita en la situación. Esto se ha diseñado intencionadamente así para obligar al alumno a que reformule mentalmente la situación a partir de la correcta comprensión de los tres elementos del problema. Para facilitar la resolución, el botón <VER> se puede pulsar tantas veces como se desee para alternar situación inicial /situación final y visualizar el cambio tantas veces como se desee

Este modelo también se encuentra en la aplicación "Elefantes". Para este nivel (1º de Primaria) y en relación con los problemas de COMPARACIÓN (algo más difíciles) recomiendo la muy atractiva aplicación "Granja (1 y 2)", entre otras.

jueves, 15 de octubre de 2015

Muñecos articulados y marioneta. Geometría del cuerpo humano.


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El razonamiento espacial actúa sobre figuras geométricas (tridimensionales y planas) por medio de operaciones básicas entre las que destacan el análisis  (descomposiciones diversas de un mismo todo) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas partes; las mismas partes constitutivas del muñeco articulado pueden combinarse, distribuirse u organizarse de maneras diferentes originando posturas diferentes) teniendo en cuenta la orientación espacial y las posiciones de las figuras en el espacio.

“Muñecos articulados y marioneta” reproduce la geometría esencial del cuerpo humano, del esquema corporal, favoreciendo el análisis y la síntesis para desarrollar tanto un pensamiento convergente (las diferentes partes se organizan para configurar un mismo todo- un mismo muñeco articulado- como divergente (las mismas partes – diferentes segmentos o piezas del muñeco articulado- se organizan formando muñecos que son diferentes –diferentes posturas-), fundamentales  para el pensamiento inventivo y creativo.

Los retos propuestos ponen en juego la observación sistemática, la percepción analítica y la comparación (similitudes y diferencias, grado en que una parte es diferente a su homóloga…).

“Muñecos articulados” presenta menos dificultad que “Marioneta”. A su vez, en “Muñecos articulados” se han contemplado dos niveles de dificultad (cada uno de ellos con 30 retos diferentes).  La diferencia entre una parte del muñeco que hay que modificar (girándola) y su homóloga en el muñeco estático propuesto– estado final al que hay que llegar- viene dada por un giro de un determinado valor. Para facilitar la correcta y exacta resolución de los retos propuestos, los giros posibles toman valores discretos (amplitudes angulares que son múltiplos de 30°, en el nivel 1, y múltiplos de 15°, en el nivel 2).


Dada la importancia de la figura humana para comunicar (acciones, sentimientos, …), su frecuente uso visual-plástico-artístico en nuestra sociedad y teniendo en cuenta, también, su adecuación al estadio evolutivo del dibujo en niños/as de Primaria, esta aplicación tiene un valor formativo interdisciplinar indudable. Esto la hace especialmente adecuada para su inclusión en UDIs interdisciplinares (Matemáticas-Educación Física-Plástica-Comunicación...)

Algunas ideas: Reproducir, sobre cartulina, las diferentes partes de un muñeco articulado similar al de esta aplicación. Hacer copias suficientes (al menos un muñeco articulado para cada alumno/a). Colorear los muñecos atendiendo a diferentes criterios y unir sus piezas de manera que permitan el giro de cada una de ellas. Elaborar luego, colectivamente, un gran mural que pueda servir para decorar un pasillo o un aula aportando cada alumno/a un muñeco con una postura diferente a la de los demás...

También se podría acompañar cada muñeco de un rótulo indicando la acción u emoción que cada postura sugiere a los/as alumnos/as, después de realizar un torbellino de ideas y consensuar la más adecuada para cada muñeco...

lunes, 10 de agosto de 2015

Elefantes. Para 1º de Educación Primaria.


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Una aplicación que interrelaciona la estadística elemental (recuento y registro en forma de tabla) con la suma y resta (complemento al 10, 20, 30, 40 y 50) y con sencillos problemas aditivos de cambio

Además de los retos propuestos, la aplicación tiene mayor potencial didáctico, pues se puede pedir a los/as alumnos/as que interpreten los datos de cada fila y columna.