martes, 13 de diciembre de 2011

Razonamiento proporcional y multiplicación

Observemos la siguiente imagen:


¿De cuántas maneras diferentes podríamos averiguar el número de pelotas correspondiente a 9 cajas iguales?

Se nos ocurre que podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 8 cajas (96) y 1 caja (12), y sumarlos. También podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 6 cajas (72) y 3 cajas (36), y sumarlos. Otra forma de llegar al resultado correcto sería aprovechar los resultados correspondientes a 7 cajas (84 pelotas) y 2 cajas (24 pelotas) y sumar 84 más 24. Y muchas otras formas más...

¿Cómo habrían resuelto los antiguos egipcios esta situación?

Dado que los antiguos egipcios sólo sabían duplicar o doblar (multiplicar por 2), habrían realizado una tabla análoga a la de la izquierda y  aprovechado los resultados correspondientes a 8 cajas (96 pelotas) y 1 caja (12 pelotas) que, sumados, dan 108 pelotas.

De manera análoga, para calcular el número de pelotas correspondientes a 11 cajas iguales, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 2 y 1 cajas, sumando 96 + 24 + 12.

Para calcular el número de pelotas correspondientes a 14 cajas, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 4 y 2 cajas, sumando 96 + 48 + 24...



Como se puede apreciar, el método de multiplicación egipcio es muy productivo, en el sentido de que a partir de unos cuantos resultados sencillos, por combinación, se obtienen muchos otros resultados... Por otra parte, este método no es nada mecánico, se apoya en una estrategia fundamental del cálculo, la duplicación, en el razonamiento proporcional (a doble número de cajas corresponde doble número de pelotas) y podemos darle una interpretación perfectamente formal haciendo uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
Así, 14 x 12 = (8 + 4 + 2) x 12 = 8 x 12 + 4 x 12 + 2 x 12 = 96 + 48 + 24 = 132.

En definitiva, el método egipcio propone una multiplicación "por partes" haciendo uso de números - no cifras- y basada en la propiedad distributiva (una estrategia fundamental en la resolución de problemas consiste en dividir el problema dado en  partes más manejables).

¿Y si consideramos una adaptación del método egipcio al siglo XXI, haciendo una mejora de sus potencialidades?

Imaginemos que un/a niño/a domina los hechos numéricos que se reogen en la tabla de la izquierda. Es obvio que, a partir de ellos, podría obtener un buen número de nuevos resultados. Así, por ejemplo, podría calcular el número de pelotas que hay en 39 cajas iguales aprovechando los resultados correspondientes a 40 cajas y 1 caja realizando la resta 480 - 12 = 470 - 2 = 468.

Podría calcular el número de pelotas correspondientes a 78 cajas así: 480 + 360 + 120 - 24 = 500 + 340 + 100 - 4 = 940 - 4 = 936. Quizá resulte más fácil de esta otra manera: 480 + 480 - 24 = (500 - 20) + (500 - 20) - 24 = (1000 - 40) - 24 = 1000 - 64 = 936.

Estos últimos ejemplos ilustran una variación del método egipcio que pone mayor énfasis en los aspectos de proporcionalidad numérica inherentes al conocimiento y dominio del sistema numeración decimal (Si 10 x 62 = 620 ---> 20 x 62 = 1240...) y en el aprovechamiento de los "números redondos" (acabados en ceros). Nótese, además, que este método de multiplicación se basa en el cálculo pensado con números - no en un cálculo mecánico con cifras como el algoritmo tradicional de la multiplicación -; es flexible - permite llegar al mismo resultado utilizando estrategias y/o secuencias de cálculo diferentes-, más o menos largos según el grado de competencia en cálculo pensado con que cuente cada alumno/a (atención a la diversidad). Además, hace el cálculo más atractivo.

Podría argumentarse que la multiplicación 12 x 47, mediante el algoritmo tradicional, es más fácil puesto que sólo requiere conocer las tablas de multiplicar ( las del 1 y las del 2 para este caso concreto) y la mecánica del algoritmo... ¡Totalmente de acuerdo con este argumento! Pero...

...es que se trata de enseñar y aprender Matemáticas plenas de significados, de desarrollar competencias matemáticas...Si algo hay ineludible en esta área curricular es el razonamiento. Todo/a niño/a tiene cierto grado de razonamiento proporcional que hay que fomentar. Tanto la construcción de tablas de multiplicar -que son tablas de proporcionalidad- como el método utilizado para realizar multiplicaciones se deben basar en el desarrollo de este tipo de razonamiento, fundamental en la adquisición de competencias matemáticas en Primaria ya que prepara el camino a nociones matemáticas valiosas. Sería deseable que un/a alumno/a de tercer ciclo de Primaria supiera calcular mentalmente, por ejemplo, el 15% de 840 € utilizando el razonamiento proporcional más o menos así : El 15% de 840 = 10% de 840 + 5% de 840 = la décima parte de 840 + la mitad de la décima parte de 840 = 84 + 42 = 126.



La imagen de arriba muestra una división propuesta por mí, al azar, y realizada por una alumna de 5º de Primaria. Obsérvese el uso que hizo esta niña del razonamiento proporcional en la realización de la misma: Si 2 x 57 = 114 entonces 0,20 x 57 = 11, 4. Si 0,20 x 57 = 11, 4 entonces 0,02 x 57 = 1,14.

Se podría argumentar que el desarrollo de competencias matemáticas también contempla rutinas, tareas a nivel de la simple alfabetización, como podrían ser los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas. Pero es que si estos algoritmos tradicionales cumplían perfectamente su papel alfabetizador en el siglo XIX y en buena parte del siglo XX, actualmente ya no la cumplen. Estamos inmersos en una sociedad tecnológica en la que la mayor parte de los cálculos son instrumentales (cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...). Esto implica repensar el papel del cálculo y la numeración que se imparten en la escuela. De acuerdo con unos principios claros para la mejora de la educación matemática, deben servir para el desarrollo de competencias matemáticas.

Las siguientes aplicaciones, incluídas en ¡ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE!, permiten construir tablas de proporcionalidad sencillas - que incluyen como caso particular las tablas de multiplicar- así como la utilización de formatos interactivos que tutorizan la práctica de la multiplicación basada en el cálculo pensado con números, de manera flexible y haciendo uso del razonamiento proporcional:



Dado que el método para multiplicar por el que se apuesta aquí en cierta forma rescata y mejora el método de multiplicación egipcia, parece conveniente ilustrar éste último mediante un vídeo:

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