lunes, 24 de octubre de 2011

Material didáctico analógico vs material didáctico digital

Un aspecto importante de las TICs es que hacen posible la compensación de carencias, de desigualdades educativas...permitiendo que centros pobres, con pocos recursos, puedan acceder a materiales educativos digitales cuyos correspondientes analógicos no podrían adquirir, al menos en la cantidad necesaria para que la manipulación de los mismos no fuese meramente testimonial. Las TICs permiten conjugar la calidad con el bajo costo.

Así, por ejemplo, adquirir un ábaco-contador analógico de 100 bolas  para cada alumno/a de un determinado nivel, además de ocupar un espacio considerable a la hora de guardarlos, supondría un importante desembolso económico que no todas las administraciones educativas, ni todos los centros escolares, podrían permitirse. Sobre todo si se lleva a la práctica una educación constructivista, que demanda especialmente la abundancia de materiales didácticos diversos (ábacos, regletas, bloques multibase, balanzas, relojes didácticos, geoplanos, juegos de billetes y monedas, juegos de polígonos y poliedros, etc, etc...)



¿Tienen claras ventajas los materiales didácticos  analógicos sobre sus correspondientes digitales? La respuesta a esta pregunta dependerá en gran medida del diseño dado al material digital y del grado de interactividad, del lado del usuario, con que cuente.

A.-) Ábaco contador analógico de 100 bolas:




B.-) Ábaco contador digital de 100 bolas:



Para este material didáctico, podemos comprobar que todos los usos y manipulaciones didácticas (libres o dirigidas) que se pueden realizar en A también se pueden llevar a cabo en B ( en la opción "manipulación libre") con la misma facilidad ( sólo la "puesta a cero", en este caso concreto, es más lenta en B - al no poder volcar el ábaco hacia un lado, aunque esto es fácil de solventar si se considerara especialmente relevante-, pero con más precisión en la separación de las bolas en B que en A). Podemos ver además que en B las bolas están diferenciadas, de 5 en 5, por el color ( hay también ábacos contadores con 100 bolas diferenciadas de esta manera). Este detalle es de gran relevancia didáctica, pues permite utilizar el cinco como intermediario para la lograr una percepción más rápida de números menores que 10 (descomposición aditiva-sustractiva de números en la que el 5 juega un papel esencial): 7= 5 + 2; 8 = 10 - 2; 4 = 5 - 1; etc...


En B, además, se asocia cada pulsación con el nombre ( oído y escrito) del número formado, con los símbolos gráficos que lo representan ( número y cifras del mismo) y con otra representación gráfica alternativa, lo cual permite el aprendizaje autónomo de manera sensiblemente más eficaz que en A. Pero, además, en la opción "escribe el número" se realiza una propuesta que permite la comprobación de un determinado aprendizaje posibilitado por el material, lo cual es un mecanismo de retroalimentación para el/la alumno/a usuario/a, un mecanismo de regulación de su propio aprendizaje. Esta ventaja didáctica es esencial para un modelo de enseñanza centrado en el alumno, que contemple tiempos de trabajo autónomo o semidirigido, que posibilite el descubrimiento...


Si a las ventajas didácticas de B con respecto a A le añadimos el bajo coste, incluso ecológico, y las ventajas en relación con su puesta en práctica en el aula (rapidez en la disponibilidad y en el cambio de actividad, mayor orden en la clase, facilidad de guardado o almacenamiento, menor deterioro, mayor duración,...), no cabe duda de que B material didáctico digital) ha superado en funcionalidad a A (material didáctico analógico).




De manera análoga podríamos razonar para otros materiales didácticos tales como balanzas (es difícil lograr el equilibrio con una analógica); relojes didácticos (en los analógicos las agujas se mueven a intervalos continuos difíciles de cuantificar. En cambio, con un reloj digital podemos configurar el movimiento de sus agujas de manera que avancen, por ejemplo, de 5 en 5 (segundos, minutos), de 1 en 1 (horas), etc...); geoplanos; etc...






domingo, 23 de octubre de 2011

El "espacio de búsqueda" en la resolución de problemas.

En esta entrada voy a ilustrar el concepto de "espacio de búsqueda" en un problema, de acuerdo con la concepción de "problema" que se maneja en la Teoría del Procesamiento de la Información que se resume en este documento.

Para ello les invito a entrar en la aplicación "Pesa pensando_1", incluida en el el recurso educativo digital "ProblemáTICas Primaria", a experimentar y reflexionar sobre la diferencia de dificultad existente entre las opciones "varias balanzas fijas" y "una balanza móvil".



Cuando a los/as alumnos/as se les presentan varias balanzas estáticas -dibujos de balanzas- ya equilibradas con diferentes configuraciones de objetos, cuyas masas hay que averiguar, la naturaleza de la actividad, aún persiguiendo el mismo objetivo, no es la misma que cuando los/as alumnos/as tienen que encontrar el equilibrio de la balanza...

Aquí, con la opción  balanza móvil, la igualdad (equilibrio de la balanza) y la desigualdad (desequilibrio en uno u otro sentido) juegan papeles de igual importancia semántica. No se trata de un ejercicio, ni de un problema rutinario. Entre la SITUACIÓN INICIAL, con información desestructurada, y la SITUACIÓN FINAL nos encontramos con el ESPACIO DE BÚSQUEDA del problema, constituido fundamentalmente por el conjunto de todas las combinaciones o pesadas diferentes que se pueden realizar...

Se ofrece a los/as alumnos/as la oportunidad de ser metódicos, sistemáticos,... para encontrar las posibles ( o al menos suficientes) igualdades (equilibrios) a partir de las cuales se podrá resolver el problema. En la medida en que las posibilidades combinatorias entre objeto/s y pesas aumenta, el ESPACIO DE BÚSQUEDA se hace mayor y la tarea se hace más difícil. Luego, obviamente, tendrán que realizar - al igual que en la opción varias balanzas fijas- un razonamiento lógico deductivo correcto, de naturaleza argumentativa con números, para llegar a la SITUACIÓN FINAL.

Como el lector comprenderá, con los modelos estáticos de balanzas en equilibrio, el ESPACIO DE BÚSQUEDA del problema se reduce considerablemente y con ello la dificultad del problema. Así, pues, se recomienda que los/as alumnos/as comiencen ejercitando su razonamiento con la opción de las balanzas estáticas ya equilibradas. Con un modelo dinámico de balanza, como el que aquí se propone, la motivación de los/as alumnos/as se ve favorecida por la simulación del efecto físico de gravedad, por la naturaleza experimental del procedimiento así como por la fácil visualización y rápida obtención de igualdades y desigualdades.

Se podría decir que el MODELO_TIC propuesto aquí, con la opción de balanza móvil, es que los/as alumnos/as <construyan el enunciado del problema> mediante el análisis experimental de relaciones entre las masas de pesas de valor conocido y objetos de masa desconocida y luego resuelvan el problema.

sábado, 22 de octubre de 2011

Formatos interactivos para el cálculo pensado, flexible y basado en números

Hace aproximadamente una década que Antonio Ramón Martín Adrián (Tony) del CEIP Aguamansa (La Orotava ), y otros integrantes de grupos Capicúa – siguiendo la las ideas de Anthony Ralston en “Let’s Abolis Péncil-and-Paper Arithmethic”- vienen debatiendo y manifestándose activamente en contra de los algoritmos tradicionales de las operaciones aritméticas y la raíz cuadrada; y elaborando y difundiendo excelentes vídeos en los que nos muestran a sus alumnos/as, frente a la pizarra, realizando cálculos pensados con apoyo escrito; cálculos que utilizan algoritmos flexibles diversos, todos ellos basados en números – y no en cifras como ocurre con los algoritmos de lápiz y papel de toda la vida-  para realizar cada una de las operaciones básicas.

Desde hace algo más de un año, Jaime Martínez Montero (Inspector de Educación desde 1977. Ha sido Profesor Asociado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Cádiz. Es maestro y doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación. Ha publicado numerosos artículos y libros...), a través de su blog “Algoritmos ABN” y de Youtube, está divulgando, también, excelentes vídeos que muestran a alumnos/as de varios centros de la provincia de Cádiz, y de diferentes niveles, realizando cálculos algorítmicos abiertos y basados en números. Se trata, también, de cálculo pensado con apoyo escrito.


Tanto Tony como Jaime Martínez impulsan y defienden un cálculo flexible, abierto, argumentado y basado en números. Pero mientras para el primero, según sus propias palabras, no se trata de "nada nuevo, ni revolucionario, sino de una filosofía de hace cincuenta o sesenta años”, para el segundo, según se desprende de algunas entrevistas publicadas en la prensa, sí que se trata – hablando en particular de los “Algoritmos Abiertos Basados en Números”- de un invento novedoso, de un nuevo método cuya autoría se atribuye.
A algunos/as nos resulta un tanto chocante constatar que algo que se “publicita” no ya como “descubrimiento” sino como “invento”, como método revolucionario dentro de la matemática escolar – que parece destinado poco menos que a acabar con el fracaso escolar en Matemáticas- no tenga tanto de novedoso, pues está plagado de precedentes. Sin embargo, algunos sitios web (Actiludis, elTanque,…) ponen mucho celo en recordar que los “Algoritmos ABN” son propiedad intelectual de Jaime Martínez Montero. No sé si esa propiedad se refiere a la denominación y al logotipo (nada que objetar a esta idea tan eficaz para el marketing), al formato de los algoritmos (ya habría más que objetar) o a la propiedad intelectual de las propiedades de las operaciones (no creo, sería un atentado a la Matemática como patrimonio de la Humanidad)…

En el blog “Algoritmos ABN” se recoge esta muy loable intención: Con el presente blog quiero colaborar en la erradicación de las viejas cuentas escolares. Me sumo así a docentes e investigadores que se han puesto manos a la obra”. Sin embargo, y a juzgar por lo recogido en algunos artículos de prensa, algunos/as maestros/as percibimos  que  se maximiza en exceso su relevancia y que se presenta como si antes de él no hubiese habido antes… (minimizando y/o "excluyendo" los precedentes); cuando todos y cada uno de nosotros influimos y recibimos influencias de los demás...


Algunos/as maestros/as, influenciados por personas como Tony y otros, llevamos años tratando de que se generalice en nuestros centros un cálculo fundamentalmente pensado y estratégico que no excluye el cálculo algorítmico (siempre que sea flexible, abierto, basado en números…). Sin embargo, y a pesar de que somos los máximos defensores de algoritmos tipo algoritmos ABN, no nos gustan las connotaciones “de mercado”, de “ marketing”, “de apropiación intelectual”, etc... que percibimos en algoritmos ABN. Además, no identificamos algoritmos con cálculo. Mucho menos reducimos la matemática al cálculo – como pensamos que implícitamente se refleja en el blog “Algoritmos ABN”. Pensamos, además, que unas matemáticas naturales y divertidas no deben tener tanto regusto a pizarra y tiza y que, obviamente, deben ser divertidas…

Sin embargo, hay que dar la bienvenida en la red a aplicaciones TICs del tipo “tutor ABN” (otros preferimos llamarlos “formatos interactivos para la práctica tutorizada de algoritmos flexibles”) que también tienen sus precedentes...

Así, por ejemplo, los formatos interactivos para la práctica de cálculos flexibles que yo vengo diseñando han seguido su propia evolución en el tiempo, desde los algoritmos extendidos interactivos y basados en números incluidos en "Estrategias para la Numeración"-2005-, pasando por los incluidos en "MatemáTICas Primaria"-2008- hasta llegar a las aplicaciones incluidas en "Así calculamos en mi cole"-2010_2011- que van más allá de las expectativas cubiertas por los "tutores ABN"-.

En mi trabajo “MatemáTICas Primaria” (1º premio a materiales educativos multimedia_2008, del ITE), ya aparecen precursores de estos formatos y aplicaciones que van aún  más allá- puesto que contextualizan la generación interactiva del algoritmo-, como es el caso de "reparto monedas y billetes" del cual se ofrece a continuación una versión mejorada, aunque reducida respecto a la incluida en "Así calculamos en mi cole" , (Cada acción sobre el dinero tiene su repercusión numérica en el algoritmo interactivo que se va generando...):


Algunos de los formatos TICs interactivos para los algoritmos abn se han puesto en la red, a mi juicio, con excesiva precipitación. No se ha depurado suficientemente el código ActionScript de las mismas, o bien no se las ha dotado de las suficientes funciones de comprobación de las entradas numéricas realizadas por los usuarios. Estoy convencido de que Mario Ramos Rodríguez sabrá subsanar los errores que se reflejan en estas imágenes, donde la aplicación da por válidas  multiplicaciones y divisiones con resultados intermedios incorrectos... (Hubiera preferido comunicárselo de una manera más personal y discreta, pero no he encontrado ningún email de referencia en su página web ni ningún espacio para comentarios)




domingo, 16 de octubre de 2011

Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas

Un recurso barato y de enorme interés didáctico para trabajar aspectos geométricos a lo largo de toda la Etapa Primaria lo constituyen las tramas (o mallas) de puntos ( la trama ortométrica y la isométrica, fundamentalmente). A efectos prácticos pueden ser considerados geoplanos dibujados. Podemos fotocopiarlas y obtener tantas copias como se desee de las mismas. Permiten abordar numerosas cuestiones de geometría dibujada (el dibujo es el procedimiento específico de la geometría).

El interés didáctico de los geoplanos ( sean dibujados, analógicos o digitales) reside en que son modelos finitos del plano, con una geometría finita: un número finito de puntos (puntos de la trama o vértices de la malla), de longitudes de segmentos, de valores angulares y polígonos...


Permiten la obtención de colecciones de polígonos que pueden clasificarse atendiendo a diferentes variables o atributos geométricos (número de lados, simetría, paralelismo de los lados, concavidad/convexidad, área, perímetros, fraccionamiento en partes congruentes, etc...); el diseño de mosaicos; la obtención de familias de figuras (poliminós, polideltas,...) a partir de un número fijado de elementos unitarios; la realización de tangramas diversos; la utilización de polígonos generados como modelos para la obtención de otros polígonos más complejos; descubrimiento de patrones y regularidades geométricas - y numéricas-, etc...


Las posibilidades son enormes...
Las correspondientes aplicaciones digitales se pueden dotar de interactividad y de otras características que le dan un atractivo y valor añadidos: posibilidad de borrado (que invita al método de ensayo-error), de elección de color (goce visual y estético), de correccción de retos propuestos ( retroalimentación, regulación del aprendizaje...), etc..

Si aún no has experimentado con materiales de este tipo puedes hacerlo con las siguientes aplicaciones.

miércoles, 12 de octubre de 2011

Imágenes y modelos dinámicos para estimular explicaciones, razonamientos y argumentaciones en Matemáticas...

En el curso 2009-2010 coordiné en mi centro un grupo de trabajo cuyo principal objetivo era abordar la resolución de problemas, desde Infantil a Primaria, para unificar, al respecto, materiales didácticos y criterios metodológicos.

Aquí les dejo una presentación que resume el enfoque que le dimos a esta temática y que muestra el tipo de imágenes y modelos dinámicos que utilizamos para ello.



Estas otras imágenes han sido utilizadas en la aplicación "Pesa pensando 1", integrada en el recurso multimedia "ProblemáTICas Primaria" :
(Puedes utilizar las teclas de flecha "derecha" e "izquierda" para avanzar o retroceder, respectivamente).

Modelos dinámicos como el que se muestra a continuación, incluido en "Laboratorio básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria", se utilizaron, con pizarra digital, en el tercer ciclo de Primaria.

miércoles, 5 de octubre de 2011

Cálculo mental contextualizado. Situaciones de compra.



(...) las competencias no puden definirrse sino en función de situaciones, están situadas como los conocimientos en un contexto social y físico. El concepto de situación se vuelve el elemento central del aprendizaje: dentro de cada situación el estudiante construye, modifica o refuta los conocimientos contextualizados y desarrolla competencias a la vez situadas. Se trata de un proceso determinante para el aprendizaje escolar, (…). Ya no se trata de enseñar contenidos disciplinares descontextualizados (área del trapecio, suma de fracciones, procedimiento de cálculo mental, reglas de sintaxis, etc.) sino de definir situaciones en las cuales los alumnos pueden construir, modificar o refutar conocimientos y competencias utilizando contenidos disciplinares.
(Jonnaert, 2002. Citado por Ángel Pérez Gómez y Encarnación Soto Gómez)

A juzgar por las características de las aplicaciones multimedia que circulan por la red para el desarrollo de competencias de cálculo, a los diseñadores de contenidos educativos digitales nos cuesta mucho trabajo contextualizar adecuadamente la aritmética escolar, es decir, darle un significado práctico e inmediato que permita, desde el comienzo, plantearse situaciones reales y resolver problemas que afecten e interesen directamente a nuestros/as alumnos/as. Todo ello a pesar de que:


El aprendizaje de la  Aritmética es un conocimiento socialmente útil ya que es una de las formas básicas de razonamiento; sistematiza el estudio de las cantidades, su simbolización y sus relaciones (...) El aprendizaje de la aritmética es un hecho social  determinado por el grado de evolución y desarrollo de cada sociedad. Son las necesidades colectivas de unas normas básicas y generales y del dominio cuantitativo de la realidad las que impònen el aprendizaje de la aritmética (...) (Bernardo Gómez Alfonso, 1993)
Es cierto que es mucho más fácil ser coherente en la teoría que en la práctica. Resulta sencillo argumentar que el cálculo escolar (que es lo que nos ocupa en este momento) debe ser un cálculo contextualizado, situado... y que la naturaleza de esas situaciones está directamente relacionada con el desarrollo de competencias de cálculo. Más difícil, no cabe duda, resulta implementar materiales educativos coherentes con la teoría expuesta.

Existe un amplísimo consenso en considerar la  Resolución de Problemas como contexto fundamental y vertebrador en Matemáticas. No cabe duda de que la mayoría de los problemas conllevan la realización de cálculos y la valoración de los resultados obtenidos y, por tanto, el cálculo cobra pleno sentido en la resolución de problemas. Pero, ¿todo el cálculo escolar debe estar situado en el contexto de la resolución de problemas? De ser así, nuestra quehacer en las aulas distaría mucho de lo que podría considerarse como una práctica deseable.

Al respecto, hay que considerar que en el dominio del sentido numérico y operacional intervienen convenciones y reglas (signos de las operaciones, símbolos de los números, forma de leer e interpretar los números, valor posicional en nuestro sistema de numeración, jerarquía en las operaciones combinadas,...),  hechos numéricos (dominio progresivo, a nivel de la memoria inmediata, de resultados de combinaciones numéricas básicas - tablas de sumar y multiplicar, por ejemplo -), técnicas (que se dominan a través de la necesaria repetición: contar de tantos en tantos de manera ascendente o descendente...), estrategias (descomposición aditiva de números, descomposición multiplicativa, compensación, complemento a, doblar, etc...).

Si sólo aprovechásemos los tiempos de resolución de problemas para profundizar en estos aspectos nos iríamos al extremo contrario...No "pecamos" si dedicamos tiempos específicos para el dominio de técnicas, estrategias, algoritmos,...Pero no desarrollaremos verdadera competencia en el cálculo si no ponemos el énfasis en su contextualización...


La aplicación "Compro-pago-me devuelven", incluida en el recurso "ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE", ilustra cómo pueden diseñarse aplicaciones multimedia de gran atractivo para nuestros/as alumnos/as que, en un contexto de resolución de problemas de la vida diaria, faciliten el desarrollo de  competencias de cálculo pensado.

martes, 4 de octubre de 2011

"ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE". Una apuesta por el cálculo pensado, flexible y basado en números.

Invito a los/as lectores/as a navegar por "Así calculamos en mi cole".
Aunque este recurso multimedia no aborda de manera exhaustiva el desarrollo de competencias de cálculo en la Etapa Primaria, sí que ilustra cómo se pueden diseñar contenidos educativos digitales que profundicen, con fundamento didáctico y metodológico, en aspectos de especial relevancia en el cálculo: manipulación de materiales didácticos virtuales para la representación y descomposición del número  (ábacos, bloques multibase, centena dinámica, juegos de dados, diana interactiva, balanza numérica,...); ilustración gráfico-numérica, e interactiva, de algoritmos flexibles de las operaciones básicas basados en el cálculo pensado con números; formatos interactivos que tutorizan el cálculo algorítmico flexible de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones; cálculo mental contextualizado en la resolución de problemas; formatos interactivos para trabajar estrategias concretas de cálculo mental, modelos gráficos interactivos como soporte para el cálculo pensado, etc... 

En entradas siguientes se profundizará con más detalle en los aspectos resaltados.

lunes, 3 de octubre de 2011

De la división como reparto a un algoritmo flexible para la división

La integración de las TICs en Matemáticas debería estar sólidamente fundamentada, didáctica y metodológicamente. Esto no parece ser así en lo que a la integración de las TICs para el desarrollo de competencias en cálculo se refiere.
Resulta relativamente fácil diseñar aplicaciones que propongan cálculos y corrijan la respuesta dada por el usuario, incluso que los cálculos propuestos se generen de manera aleatoria de acuerdo con unos determinados parámetros de configuración elegidos... Esto ya es un avance, sin duda, sobre todo en relación con la corrección automática de los cálculos realizados en propuestas de cálculo mental... Pero, ¿qué tipo de cálculo proponen las aplicaciones que nos encontramos en la red?


Poco se ha indagado y profundizado, haciendo uso de las TICs, en los procesos de comprensión de las operaciones básicas. La práctica totalidad de las aplicaciones que nos encontramos en la red abordan un cálculo descontextualizado apoyado en los algoritmos tradicionales de lápiz y papel de las operaciones básicas....Estos algoritmos, además, se siguen presentando como el inicio de las operaciones a las que sirven.


Invito a los/as lectores/as a manipular la aplicación "División gráfica con billetes" incluida en el recurso multimedia "ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE". Es la primera aplicación existente en la red que ilustra cómo un reparto, a partes iguales, puede realizarse de manera flexible (abierta o divergente, si se prefiere) a la par que se genera de manera interactiva el correspondiente algoritmo numérico flexible (en función de las manipulaciones concretas realizadas con monedas y billetes por cada usuario). De esta manera, se pretende justificar la naturalidad del algoritmo propuesto en contraposición con el algoritmo tradicional de la división.