sábado, 26 de noviembre de 2011

La numeración y el cálculo en Vedoque

Probablemente, uno de los avances más importantes en materia de diseño en el web ha sido la aparición de la tecnología desarrollada por Macromedia denominada Flash. Ésta tecnología se sirve de las posibilidades que ofrece el trabajar con gráficos vectoriales, fácilmente redimensionables y alterables por medio de funciones, así como de un almacenamiento inteligente de las imágenes y sonidos empleados en sus animaciones por medio de bibliotecas, para optimizar el tamaño de los archivos que contienen las animaciones.

Esta optimización del espacio que ocupan las animaciones, combinada con la posibilidad de cargar la animación al mismo tiempo que ésta se muestra en el navegador (técnica denominada
streaming), permite aportar elementos visuales que dan vida a una web sin que para ello el tiempo de carga de la página se prolongue hasta límites insoportables por el visitante.


Además de este aspecto meramente estético, Flash introduce en su entorno la posibilidad de interaccionar con el usuario. Para ello, Flash invoca un lenguaje de programación llamado Action Script. Orientado a objetos, este lenguaje tiene claras influencias del Javascript y permite, entre otras muchas cosas, gestionar el relleno de formularios, ejecutar distintas partes de una animación en función de eventos producidos por el usuario, saltar a otras páginas, etc.

De este modo, Macromedia pone a nuestra disposición una tecnología pensada para aportar vistosidad a nuestra web al mismo tiempo que nos permite interaccionar con nuestro visitante. Por supuesto, no se trata de la única alternativa de diseño vectorial aplicada al Web pero, sin duda, se trata de la más popular y más completa de ellas
.
(Tomado de Rubén Álvarez en desarrolloweb.com)

Aunque Flash no es propiamente una herramienta de autor, es una de las tecnologías que más se están utilizando para diseñar atractivas aplicaciones para el área de matemáticas. Probablemente la más utilizada en Infantil y Primaria. No ocurre lo mismo en Secundaria y Bachillerato, donde se utiliza mayoritariamente software creado específicamente para las matemáticas.
En este blog se analizarán, en diferentes post, propuestas de matemáticas para Primaria realizadas en Flash (como las del Proyecto Agrega, Mario Ramos, GenMagic, Series Matemáticas, Matemáticas Divertidas, sectormatemática, actividades interactivas en Flash de diferentes editoriales, etc, etc...)

Ni que decir tiene que yo diseño mis aplicaciones de matemáticas con Flash. En Metamodelos y modelos TIC (III) en la resolución de problemas me planteaba si con alguno de los múltiples programas de autor existentes se podría lograr la interactividad del lado del ususario que se puede lograr con Flash...


Pero comencemos con un uso sencillo de la tecnología Flash...

Vedoque cuenta con algunas aplicaciones (juegos) de matemáticas, realizadas con Flash, sencillas, interesantes y atractivas para alumnos/as de Educación Infantil y de primero y segundo ciclo de Primaria, fundamentalmente:
Cuenta hasta cinco.(Infantil)


Estas otras aplicaciones presentan un menú más variado de actividades, con un enfoque más "curricular".

Quiero comentar algunas cuestiones presentes en la aplicación que sigue (menú OPERACIONES):


En el menú operaciones de esta aplicación se proponen tres vídeos ( dos de ellos ya han sido suprimidos) que ilustran la didáctica de la suma y la resta:

 

Con todo el cariño y respeto que me merece el trabajo de otros (de la Khan Academy, en este caso), tengo que manifestar que  me resulta algo penoso ver las tecnologías puestas al servicio de una didáctica de las operaciones basada fundamentalmente en cifras (cosa que ocurre en las aplicaciones de Vedoque que tratan las operaciones básicas de manera no mental), y no en números, y que no tiene en cuenta las propiedades fundamentales de las operaciones:

La estrategia fundamental para la realización de las operaciones básicas debe ser la descomposición aditiva de números. El mismo nombre de un número ya es una descomposición aditiva - una suma - del mismo:"treinta y cuatro" ---> 30 + 4.

La propiedad fundamental de la suma es que ésta no varía cuando pasamos una cantidad de unidades de un sumando a otro. Si tenemos 28 flores en un ramo y 7 flores en otro, el número total de flores no varía cuando pasamos, por ejemplo, 2 flores del ramo más pequeño al más grande... Así 28 + 7 = (28 + 2) + 5 = 30 + 5 = 35.

No debemos seguir castigando a los niños con la llevada en sumas y restas. Apostemos por un cálculo pensado, estratégico, flexible, basado en números y en las propiedades de las operaciones...

jueves, 24 de noviembre de 2011

Premios a materiales educativos. ITE_2011

La convocatoria 2011 de los Premios convocados por el ITE (Instituto de Tecnologías Educativas)  para fomentar la creación de recursos educativos destinados a internet ha sido resuelta (ver resolución) con un total de 13 galardones.

Desde aquí felicito a todos/as los/as profesores/as y centros educativos premiados. ¡Enhorabuena!

Mi trabajo multimedia "Así calculamos en mi cole" ha recibido el segundo premio en la Modalidad A (materiales elaborados por entidades sin fines de lucro y personas físicas) Tipo II ( Materiales y recursos educativos).

Con este son ya cinco los trabajos míos premiados por el ITE en el lustro 2007-2011. Cuatro de ellos giran en torno a diferentes aspectos de la Matemática en la Etapa Primaria ( 6-12 años):
Estos cuatro trabajos, a mi juicio, constituyen una de las propuestas más completas, interactivas y fundamentadas didácticamente para trabajar las Matemáticas en la Etapa Primaria.

De entre los trabajos premiados quiero hacer mención aquí al recurso educativo "Razonamiento lógico", de José Bustillo Rendón (3º premio). Se trata de un excelente trabajo realizado con la tecnología Flash. Está muy bien diseñado. Presenta una interfaz directa y sencilla, basada en la imagen y en la palabra oída; con muy buena estética e interactividad. Hace un buen acopio de retos para el razonamiento lógico_matemático. Contempla, además, grados o niveles de dificultad en los retos propuestos...y está adaptado para su presentación a través de una PDI. Seguro que es un trabajo muy del gusto de los/as alumnos/as. Yo ya se lo he presentado a los míos...



He encontrado también muy interesantes, simpáticos y muy bien enfocados didácticamente los vídeos sobre multiplicación y división por la unidad seguida de ceros presentados por el C. P. “San Pedro Apóstol” de Granja de Rocamora (Alicante)- tercer premio en la Modalidad B (materiales presentados por Centros Educativos) y Tipo II (Materiales y recursos educativos). (Los vídeos se visualizan con la tecnología Flash).



martes, 22 de noviembre de 2011

Matemáticas con Flash (I). Proyecto Agrega

 
Entre las aplicaciones multimedia para las Matemáticas en Primaria realizadas con la tecnología Flash, hay que destacar las incluídas en el Proyecto Agrega:




Aquí tenemos un ejemplo concreto de aplicación ( Producto y división con números naturales) que refleja bastante bien las características de la mayoría de materiales de Agrega:
Como se puede comprobar, tienen un diseño gráfico y una calidad de sonidos excelentes. Estos factores son importantísimos para despertar el interés y la motivación del alumnado. Presentan una buena gama de situaciones del mundo real en cada tema u objeto de aprendizaje concreto. Además, se las ha dotado de una buena interactividad que se pone al servicio de la ilustración de conceptos y procedimientos de las matemáticas básicas. Esta interactividad, no obstante, suele estar en las aplicaciones de Agrega más del lado del profesor (en el sentido de que se prioriza la ilustración de conceptos y procedimientos a nivel introductorio - labor más específica de profesores- que la profundización en los mismos mediante la práctica - labor más propia del alumnado-) que del alumnado. Dicho de otra manera, esta aplicación sobre la multiplicación y la división puede ser utilizada por los/as maestros/as como un excelente recurso para introducir estas operaciones, dotándolas de significado y relacionándolas con situaciones de la vida diaria. No va a permitir, en cambio, la profundización, por parte de los/as alumnos/as en el cálculo de multiplicaciones y divisiones, a pesar de que una de las opciones del menú lleve por título "Automatización del producto y la división"...

Es importante, pues, que el profesorado sepa evaluar los contenidos multimedia atendiendo a variables tales como: su grado de incidencia sobre aspectos curriculares, el momento idóneo para su aplicación, la orientación didáctica y metodológica implícita, etc...

Es habitual en muchos blogs de aula que el profesorado, de manera indudablemente inteligente, cuente con un listado suficientemente amplio de enlaces a contenidos educativos digitales diferentes para asegurarse el correcto y completo tratamiento de un determinado tema.

Este hecho, a su vez, pone de manifiesto que ninguna plataforma o repositorio de contenidos educativos digitales - a pesar de que faciliten mucho la tarea de búsqueda y disponibilidad de recursos educativos- es autosuficiente; que ninguna de ella cuenta con todos o los más adecuados contenidos educativos digitales; que es necesario estar permanentemente buscando y al día...
 

miércoles, 16 de noviembre de 2011

Metamodelos y modelos TIC (III) en la resolución de problemas.

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En Metamodelos y modelos TIC (II) en la resolución de problemas pudimos comprobar que en "ProblemáTICas Primaria" se ofrecía una amplia gama de metamodelos y modelos TIC para la resolución de problemas.

En este artículo voy a analizar con más detalle un metamodelo de RP que las TICs hacen posible, LA SIMULACIÓN (entendida como representación dinámica de la situación problemática propuesta, de manera que permita su tratamiento en el ordenador).


Obviamente en este metamodelo se pueden incluir múltiples modelos. Cada uno de ellos puede ser considerado una variante de otro en función de que incida más o menos sobre una determinada variable didáctica de la tarea.
No pretendo hacer aquí un listado exhaustivo de modelos concretos de simulación, ni de ponerles nombre...Pretendo sencillamente utilizar la teoría de los metamodelos y modelos para poner de manifiesto la importancia de la NATURALEZA PROCEDIMENTAL DE LAS TAREAS_TIC propuestas a nuestros/as alumnos/as...
Se puede realizar la simulación de situaciones problemáticas sin utilizar las TIC, pero el ordenador añade posibilidades nuevas de importancia fundamental para la enseñanza-aprendizaje: la evaluación de las hipótesis o comprobación de los resultados - que hace posible el aprendizaje autónomo y semidirigido- como mecanismo esencial para la retroalimentación del aprendizaje; la representación más o menos esquematizada de la situación integrando diferentes formas y tipos de información (gráfica, numérica,...); la inclusión de ayudas contextualizada que suponen un "andamiaje" para la realización de la tarea, el establecimiento de diferentes niveles de dificultad para adecuarse a la diversidad del alumnado; estadística sobre el grado de eficacia en la realización de la actividad,...

En este caso, la aplicación no valora lo correcto o incorrecto de los números introducidos como respuesta o solución en un problema. No se pide una respuesta numérica... La aplicación "sabe", en cada momento, cómo están situadas las frutas sobre los platos, tanto cuantitativa como cualitativamente, de manera que detecta cualquier error, permitiendo una comprobación precisa de lo realizado y favoreciendo, así, la solución de la situación problemática propuesta...

En este otro caso los problemas que se proponen, de naturaleza geométrica, se resuelven determinando las características de la construcción pedida y llevándola a cabo. El ordenador, al margen de las múltiples manipulaciones -no previstas de antemano- que pueda realizar el ususario, debe "saber" si la construcción_solución propuesta por el usuario es, o no, la correcta. Para posibilitar tal grado de interactividad al servicio del aprendizaje autónomo, la aplicación debe contar con complejas funciones de comprobación que requieren un buen dominio de la programación...

Lo anterior conecta con un tema extraordinariamente relevante en relación con el diseño de contenidos educativos digitales: La naturaleza procedimental de las tareas_TIC propuestas a los/as alumnos, la diversidad de las mismas, son variables fundamentales para la valoración de la calidad de las mismas. Al mismo tiempo, la riqueza procedimental de las tareas vendrá determinada por dos factores fundamentales: las posibilidades al respecto del programa de autor utilizado para el diseño de la tarea y el grado de dominio o aprovechamiento, por parte del autor, de las posibilidades funcionales de la herramienta de autor utilizada.


Dado que los programas de autor se definen como "Tipo de aplicaciones que permiten a sus usuarios crear sus propios proyectos multimedia con poca o nada de programación", ¿permitirán estos programas que los profesores diseñen aplicaciones que propongan tareas suficientemente interactivas, variadas y ricas desde el punto de vista de su naturaleza procedimental?

Un buen número de herramientas de autor permiten actualmente, de una manera relativamente sencilla, la realización de puzzles, relacionar, completar, elección múltiple, sopa de letras, etc...¿Se podrá lograr con herramientas de autor tales como JClic, Edilim, Cuadernia, Ardora, Hot Potatoes, eXelearning, Lams, Myscapbook, PHPWebQuest, Squeak, Quandary, etc...aplicaciones educativas con una interactividad suficiente como para proponer tareas de simulación en matemáticas?

Sobre este tema, profundizaré en artículos posteriores.



Este otro modelo de simulación no contempla la evaluación de la tarea realizada por el usuario.
Cuando en la simulación de una situación problemática la aplicación TIC integra correctamente la representación y configuración de todos los elementos y variables que son fundamentales en la misma (puede integrar también otros elementos auxiliares) la aplicación adquiere la categoría de laboratorio virtual. Se favorece no ya la resolución de un problema particular sino dar el salto hacia la generalización a partir de la experimentación, la investigación y el descubrimiento...

Una tipología de situaciones problemáticas en las que la simulación con TICs muestra su potencial es en aquellas en las que un determinado experimento debe repetirse un número elevado de veces en las mismas o parecidas condiciones. Es el caso de la simulación de experimentos aleatorios. La simulación, aquí, adquiere la categoría de experimentación y la aplicación que permite llevarla a cabo, la categoría de laboratorio virtual.
Obsérvese que el problema propuesto (y otros muchos más)  puede ser resuelto de manera experimental, sin necesidad de conocimientos teóricos sobre probabilidad, con sólo ajustar determinados parámetros de configuración de la aplicación, pulsar sobre "extracciones automáticas", esperar a que se haya realizado un número de extracciones que muestre una tendencia clara e interpretar los datos obtenidos...(En la historia de la Probabilidad no fue primero la teoría sino la realización de experimentos aleatorios. Esto se ilustra muy bien en el submenú "Situaciones Problemáticas" del recurso "Laboratorio básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria").


Directamente relacionado con la simulación como metamodelo_TIC, es el diseño de materiales didácticos virtuales que tienen su correspondiente analógico en el mercado (balanzas numéricas, relojes didácticos, bloques multibase, geoplanos, ábacos, juegos de poliedros, etc...) así como otros manipuladores virtuales. Pero, ¿qué nos deparará el futuro en este sentido? Actualmente ya se están utilizando Entornos de Simulación para La Formación Profesional.

sábado, 12 de noviembre de 2011

Metamodelos y modelos TIC (II) en la resolución de problemas.

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Del análisis de la muestra de 10 "sitios" que integran de alguna manera las TICs en la Resolución de Problemas (RP) en la Etapa Primaria, teniendo en cuenta la distinción entre ejercicio y problema, se deduce:

1.- Que el principal aporte de las TICs en la RP, hasta la fecha,  se sitúa en la comprobación (correcto/incorrecto) de la respuesta dada por el alumno (que casi siempre es un número o una palabra - lo más fácil a nivel de diseño-).

2.- Que las propuestas TICs no integran la imagen en mayor medida  que las propuestas de RP en formato impreso. Esto resulta un tanto sorprendente, dada la facilidad de la integración de imágenes estáticas. Además, se hace muy poco uso de modelos gráficos dinámicos o interactivos para presentar, contextualizar o ayudar a resolver el problema.

3.- Que la mayoría de las propuestas TICs para la RP o bien no  están bien fundamentadas didáctica y metodológicamente o bien no están organizadas con un criterio relevante. A veces, cuando la fundamentación es buena ( caso de WinMates, por ejemplo, el resultado es poco atractivo). Resulta prácticamente imposible encontrar una propuesta TICs_RP que profundice en los metamodelos (según el enfoque de José Antonio Fernández Bravo), o que organicen los problemas según un criterio diferente al de la operación aritmética con que se resuelven. Resulta, por tanto, casi imposible encontrar propuestas de problemas no exclusivamente aritméticos, tales como geométricos, de búsqueda exhaustiva, de razonamiento lógico,...

4.- Es posible encontrar propuestas de RP en formato impreso más fundamentadas didácticamente que las analizadas (las series de El Quinzet, por ejemplo), incluso más extensas y mejor organizadas :

5.- Que la mayoría de las propuestas TICs para la RP no son especialmente atractivas desde el punto de vista estético y muy pocas veces están pensadas para que puedan ser presentadas y realizadas haciendo uso de la PDI.

Pero...las TICs pueden integrarse de manera más eficaz y creativa en los procesos de RP:

Como muestra, invito al lector a analizar la propuesta "ProblemáTICas Primaria". Se trata de una propuesta que parte de la consideración de que no todos los problemas relevantes en la Etapa Primaria son aritméticos. Aún siendo una propuesta extensa y variada es incompleta, pero ilustra un buen número de direcciones creativas, de posibilidades de integración eficaz de las TICs en la RP. (En otras entradas se analizarán con más detalle algunos de los metamodelos y modelos utilizados)


"Resolución de Problemas. Metamodelos TIC" ofrece una interfaz amigable. Permite visualizar fácilmente cada una de las aplicaciones que lo conforman así como los problemas propuestos en cada una de ellas. No es necesario haber resuelto el problema número 3, por ejemplo, para poder visualizar el número 4. De esta manera, el profesorado puede conocer con exactitud las caracterísiticas y dificultad de cada una de las tareas propuestas. Aunque se trata de una propuesta "prêt à porter" para los/as alumnos/as, se informa al profesorado de manera más que suficiente, y en el contexto de cada aplicación, de los objetivos que se persiguen, del interés didáctico de la aplicación, etc.

Como se ha dicho anteriormente, Se trata de una propuesta que parte de la consideración de que no todos los problemas relevantes en la Etapa Primaria son aritméticos. También considera problemas geométricos, de razonamiento lógico y de búsqueda exhaustiva o tanteo sistemático. Además, indaga y profundiza en las posibilidades de presentación y modos de resolución no rutinarios de problemas (Metamodelos_TIC):

Así, por ejemplo, Los problemas aritméticos escolares de nivel 1 (una sola operación) de estructura multiplicativa se tratan de manera no rutinaria en tres aplicaciones diferentes (Escenas_2A, Escenas_2B y Escenas_2C) desde ópticas diferentes y utilizando diferentes metamodelos_TIC que favorezcan un buen dominio de la estructura multiplicativa (multiplicación y división pertenecen al mismo campo conceptual).




En "Escenas_2A", el metamodelo o tipología de actividad (de resolución de los problemas) que se propone a los/as alumnos/as se centra en la expresión correcta de la operación indicada con que se resuelve el problema. Pasa a un segundo plano el cálculo correcto de la solución (se puede obtener incluso con la calculadora presente en pantalla) así como la utilización de números grandes.

Se pretende favorecer que los/as alumnos/as se centren en determinar la estructura semántica de la situación y en expresar la solución del problema mediante una igualdad alfanumérica en la que intervenga el signo, (x), o el signo <:>, eligiendo de manera adecuada los datos numéricos. En este sentido algunos problemas presentan datos supérfluos.

Los problemas se presentan contextualizados con escenas gráficas en las que intervienen niños y niñas en situaciones más o menos cotidianas. El texto del problema se presenta aquí de manera tradicional, aunque distinguiendo con un color diferente la pregunta del problema...

En esta aplicación se proponen 20 problemas diferentes que inciden de manera más o menos equitativa en las diferentes CATEGORÍAS SEMÁNTICAS de estructura MULTIPLICATIVA: MULTIPLICACIÓN, PARTICIÓN, CUOTICIÓN, AUMENTO(n veces más..) Y DISMINUCIÓN( n veces menos).

La categoría PRODUCTO CARTESIANO también pertenece a la estructura multiplicativa. No obstante no se proponen aquí problemas de este tipo, por motivos de formato de la aplicación principalmente, y dado que se proponen algunos problemas manipulativos de este tipo dentro de los de TANTEO SISTEMÁTICO o BÚSQUEDA EXHAUSTIVA de soluciones posibles. Se prioriza, así, lo cualitativo de esta categorías sobre lo cuantitativo.




En "Escenas_2B", el metamodelo o tipología de actividad (de resolución de los problemas) que se propone a los/as alumnos/as tiene las siguientes características: Por una parte, obliga a los/as alunos/as a construir la estructura semántica del problema mediante la reelaboración del enunciado del mismo a partir de los fragmentos de diálogo (que no son un texto con estructura lineal). Por otra parte, los alumnos y alumnas deben buscar un conjunto de números (datos + solución), de muchos posibles, que sean una solución coherente. Esto favorece la aparición de diferentes estrategias personales así como el razonamiento lógico inductivo, pues una vez encontrado un conjunto de números que forman una solución coherente del problema es más fácil encontrar soluciones nuevas diferentes. También obliga a establecer relaciones entre parte (un dato numérico) y todo (el conjunto de datos numéricos que presumiblemente es una solución del problema).

Siguiendo la teoría expuesta por José A. Fernández Bravo  sobre metamodelos procedimentales en problemas verbalizados con enunciado y pregunta, el metamodelo_TIC que aquí se propone gozaría de algunas de las características de los modelos GENERATIVOS; se presentan problemas no rutinarios donde no hay una separación entre enunciado y pregunta y, además, no aparecen al inicio datos numéricos; el problema se presenta inicialmente como una situación cualitativa, como una información desestructurada que hay que estructurar para poder deducir algo; se trata de problemas abiertos o divergentes con varias o muchas soluciones posibles; etc... Pero el metamodelo aquí implementado también goza de las características de los metamodelos de ESTRUCTURACIÓN (ayudan a estructurar mentalmente las partes que componen el problema, a percibir la importancia de cada una de ellas, la relación que tienen y la no-arbitrariedad entre ellas).Los metamodelos de ESTRUCTURACIÓN implican al alumno en la construcción del problema y ello le obliga a interpretar mentalmente la situación problemática...



En "Escenas_2C", el metamodelo procedimental o tipología de actividad (de resolución de los problemas) que se propone a los/as alumnos/as tiene las siguientes características: Por una parte, obliga a los/as alunos/as a construir la estructura semántica del problema mediante la reelaboración del enunciado del mismo a partir de los fragmentos incompletos de diálogo que, además, no conforman un texto con estructura lineal...

A diferencia de Escenas 2_B, en la que el/la alumno/a podía encontrar múltiples soluciones coherentes con la estructura semántica de la situación, aqui cada problema propuesto es una situación convergente con una solución única (a lo sumo dos soluciones, debido a la conmutatividad del producto). La solución se alcanza cuando se colocan las etiquetas con texto adecuadamente.

Por otra parte, el metamodelo procedimental aquí implementado obliga a establecer relaciones entre las partes (datos de las etiquetas) y un todo (estructura semántica implícita en el texto incompleto inicial) que va siendo más significativo a medida que se van colocando etiquetas. Cada etiqueta colocada supone una hipótesis que hay que comprobar viendo la coherencia del nuevo texto formado...
 
Siguiendo la teoría de José A. Fernández Bravo sobre metamodelos procedimentales en problemas verbalizados con enunciado y pregunta, el metamodelo_TIC que aquí se propone gozaría de algunas de las características de los modelos GENERATIVOS así como de otras características de los modelos de ESTRUCTURACIÓN...

Pero, además, la mayor parte de las aplicaciones de "Resolución de Problemas. Metamodelos TIC" son adecuadas para su presentación y resolución en una PDI. Como se puede comprobar, las aplicaciones presentan una rica variedad de procedimientos de resolución: introducir números, completar texto lineal y texto organizado en tablas (con completado asistido y corrección instantánea), pulsar/seleccionar elementos de la pantalla, desplazar elementos gráficos a zonas determinadas, desplazar elementos textuales (etiquetas alfanuméricas) a zonas determinadas, desplazar unos elementos gráficos sobre otros ( pastelillos en platos), realizar pesadas en una balanza virtual con funcionamiento realista, argumentar sobre imágenes y modelos dinámicos que expresan relaciones cuantitativas, trazar líneas y caminos, construir, dibujar, componer y descomponer (cortar) figuras, etc...

Es fácil vislumbrar, ahora, que efectivamente las TICs posibilitan otras formas más atractivas, más variadas, creativas y eficaces de presentación y resolución de problemas escolares.













miércoles, 9 de noviembre de 2011

Metamodelos y modelos TIC (I) en la resolución de problemas.

Son numerosos los documentos teóricos y teórico/prácticos que abordan la resolución de Problemas Aritméticos Escolares Verbalizados (PAEV) - los que tienen mayor tradición en la escuela -. Son muchas, también, las propuestas que podemos encontar en la red ( en formatos .doc y .pdf, sobre todo) que ofrecen baterías de problemas escritos organizadas por edades o niveles, tipologías de problemas (según operación/es, según su semántica,...), etc...

Son escasísimas, en cambio, las propuestas que permiten abordar la resolución de PAEV desde el punto de vista de los "metamodelos o modelos". Presentamos aquí la definición dada por José Antonio Fernández Bravo (JAFB) en su documento "Metamodelos y modelos de situaciones problemáticas", muy explicativo y de enorme proyección práctica para el diseño de situaciones problemáticas:


Entendemos por "Metamodelos" cada una de las distintas clases de "modelos de situaciones problemáticas", presentadas a la actividad del alumno, capaces de generar ideas válidas para la invención, reconstrucción y resolución de problemas matemáticos.

A mi juicio, este enfoque favorece una visión amplia y rica de los aspectos más relevantes  a la hora de diseñar problemas. En el documento aludido, JAFB contempla 49 modelos diferentes de situaciones problemáticas agrupados en torno a seis clases o "metamodelos": Generativos, Estructuración, Enlaces, Transformación, Composición e Interconexión.

Si bien esta relación de modelos, bastante exhaustiva, parece estar pensada fundamentalmente para los PAEV y no para modelos de situaciones problemáticas_TIC -con muchísima menos tradición en la escuela y poco estudiadas por la Didáctica de la Matemática- y por tanto no contempla toda la presunta riqueza posible de situaciones_problemáticas_TIC,  sí permite en buena medida establecer un isomorfismo entre situaciones_problemáticas_verbalizadas y situaciones_problemáticas_TIC. Considero, por tanto, que es un buen documento de referencia para el diseño de situaciones problemáticas (sea cual fuere el modo de presentación) y, a la par, que la Didáctica de las Matemáticas tiene pendiente establecer un catálogo de "Metamodelos y modelos_TIC"...

Pero, ¿qué están aportando actualmente las TICs en la resolución de problemas (RP) en la escuela ?

En la respuesta a esta pregunta no será relevante, lógicamente, el hecho de que las TICs permiten, favorecen y potencian la divulgación y presentación de baterías de problemas escritos, ya que esto, en mayor o menor medida, ha sido posible sin las TICs.

Pretendemos profundizar en los aportes específicos de las TICs a la RP, partiendo de la hipótesis de que las TICs pueden ofrecer nuevos escenarios con nuevas posibilidades: corrección - autorregulación del proceso-, interactividad, mayor riqueza en los lenguajes de presentación, mayor variedad y control en las fases intermedias de resolución, mayor variedad en la forma de resolver un problema, etc...

Analicemos, por tanto, algunas propuestas que integran las TICs en la RP ( y que suponen una muestra bastante representativa de lo que se está haciendo al respecto):
Propone situaciones problemáticas de razonamiento ( sin números, con números, continuar series, criptogramas,...) así como colecciones de problemas verbalizados (PAEV) con diferentes grados de dificultad - aunque no hay un criterio claro de clasificación de los mismos-. Cada problema presenta un campo de texto para la introducción de la solución (una palabra o un número). Permite evaluar la exactitud de la respuesta y ofrece información textual para reconducir la actividad de los/as alumnos/as en caso de error.

Una pequeña propuesta de 32 PAEV, de sumar/restar y multiplicar, que apunta buenas maneras. Para cada problema aporta cierta interactividad puesta al servicio del proceso de resolución: asiste o guía la resolución del problema ayudando a distinguir e introducir los datos del problema y dando alguna pista sobre la estrategia a seguir...
  • RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS por J. Hita y V. JaénLos problemas aritméticos a los que se ciñen, son los que pueden resolverse con las cuatro operaciones básicas y sus distintas combinaciones. El objetivo es resolver situaciones concretas por medio del razonamiento y del cálculo. Podríamos considerarlos como una propuesta de cálculo global (problemas que manejan números sencillos y deben resolverse mentalmente). Advierten que la propuesta que ofrecen en la red requiere haber trabajado previamente, de manera adecuada, las fases manipulativa y gráfica. Presentan una propuesta con 12 niveles (tengo que reconocer que no logro comprender el criterio de clasificación, y que no aprecio diferencias significativas entre los problemas de cada nivel). Para cada nivel la propuesta consta de una tanda de 10 PAEV.
Propone problemas de respuesta múltiple y de introducción del número_solución. Presenta un botón de comprobación de respuestas para cada tanda de 10 problemas propuestos. En el caso de que la respuesta sea incorrecta, muestra la respuesta correcta. Esta es la máxima interactividad que permite el diseño de esta sencilla propuesta con Web Question 2.



Selección de problemas elementales para la Educación Primaria basados en el cálculo numérico en torno a las 4 reglas (sumar, restar, multiplicar y dividir). Son una adaptación de los clásicos "problemas Rubio" con la opción de realizarse (pulsando sobre una de las tres opciones de respuesta propuestas) y corregirse en línea. Se dirigen a niños y niñas de 7 a 11 años principalmente.
  • Problemas elementales Mario Ramos. Mario Ramos-El Tanque. Aunque ofrece en su web un menú de fichas de problemas sencillos para la Etapa Primaria ( que se pueden descargar en formato comprimido .zip), clasificados según la operación/es que abordan, no se considera aquí una propuesta de integración de las TICs en la RP. No obstante, en los múltiples y diferentes materiales de matemáticas elaborados por Mario Ramos (proporcionalidad, porcentajes, etc...) analiza teórica y prácticamente procedimientos de cálculo y resolución utilizando tablas para completar datos que pueden considerarse ejercicios_problema con evaluación de la entrada o respuesta.
  • Winmates. Esta página pretende ser un referente en el aprendizaje y refuerzo de los contenidos básicos de la Enseñanza Obligatoria: Primaria-ESO (6-16 años). "El núcleo de Winmates es la Resolución de Problemas" (ofrece fundamentación teórica al respecto). Presenta los problemas agrupados por Categorías (Comprensión, Operatoria Básica, Varias Operaciones, Geomeria, Ecuaciones, Proporciones, Medidas y SMD, Múltiplos y Divisores, Varios) y Dificultad (Fácil, Medio, Difícil). La presentación no es nada atractiva. La navegación no es cómoda. El espacio reservado en pantalla a la presentación del problema es reducida. La respuesta es siempre un número (entero o decimal). En ocasiones hay que justificar la respuesta con números y operaciones (operaciones indicadas).

  • Problemas de El Quinzet. (resolución de problemas mentales o “problemas de cálculo global”). Aquí tienes una serie. No se consideran estas series una propuesta de integración de las TICs en la RP. También proponen en su web un enigma diario on line con acceso a la solución que sí puede considerarse como una propuesta de integración de las TIcs en la RP)
  • Thatquiz. Principalmente concebida como área de práctica de matemáticas, esta web, totalmente gratuita, permite hacer fáciles ejercicios de esta materia. Como usuarios podemos acceder a las pruebas sobre cualquiera de las categorías, seleccionar el  número o nivel de las preguntas o marcar un límite de tiempo para la conclusión de la prueba si lo deseamos.
    Además, registrándonos como profesores, accedemos a una zona desde la que podremos utilizar esta aplicación para la elaboración de pruebas o exámenes. No se considera aquí una propuesta de integración de las TICs en la RP, ya que lo que se realizan son ejercicios. No obstante, con frecuencia utiliza imágenes y, a veces, cierta interactividad del lado del alumnado ( el alumno puede mover una regla para averiguar la longitud de un pez, por ejemplo).

  • IXL. Con una presentación en la que se pueden leer frases como "Matemáticas para el cerebro izquierdo y derecho", "No te pierdas ni un momento de matemáticas", "Matemática práctica", "Matemática en su forma más fascinante", ... este sitio web, aparentemente prometedor, nos ofrece  los ejercicios típicos y tópicos, los de siempre, los que podemos encontrar en cualquier libro de texto...sólo que online y bien organizados por grados y contenidos. Es por ello que no se puede considerar aquí como una propuesta de integración de las TICs en la RP.



  • GenMagic nos ofrece algunas aplicaciones en las que los problemas no responden ya a los típicos PAEV (La información necesaria para resolver el problema está distribuida en varias partes de la pantalla, de manera gráfica y textual, obligando al alumno a estructurar la información...)





El análisis sobre TICs y RP realizado en esta entrada continúa en Metamodelos y modelos TIC (II) en la resolución de problemas.

martes, 8 de noviembre de 2011

El lenguaje matemático de la belleza.

Ahora más que nunca el mundo en que vivimos se levanta sobre los números, algunos de los cuales tienen incluso nombre propio: el número pi (p), el número e... De todo el conjunto de números notables hay uno especialmente interesante: 1,6180339887...Resulta curioso saber que esta modesta cifra ha fascinado a lo largo de la historia a muchas más mentes brillantes que pi y e. Durante siglos ha recibido denominaciones de lo más llamativas: número de oro, proporción trascendental, número divino, divina proporción, etc. El número de oro, que se representa con la letra griega F (phi), habita un territorio de relaciones y propiedades numéricas increíbles, pero también de conexiones insospechadas entre la naturaleza y las creaciones humanas.

¿Qué tienen en común fenómenos naturales tan dispares como la disposicion de las semillas de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada por las conchas de algunos moluscos y los brazos de la galaxia que nos acoge, la Vía Láctea? ¿Qué pauta geométrica de insuperable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitruvio a Le Corbusier pasando por Leonardo y Salvador Dalí? Aunque pareza increíble, la respuesta a estos dos interrogantes es un simple número; una cifra de apariencia humilde, conocidad desde la Antigüedad, cuya continua aparición en toda clase de manifestaciones naturales y artísticas le ha merecido apelativos tales como "divina proporción", "número de oro" o "proporción áurea".

La historia de las matemáticas es a veces sorprendente, y desde luego, siempre inesperada. El viejo numero áureo, tan geométrico, emparentó siglos después con unas fracciones que surgieron de una sucesión puramente aritmética. El artífice del matrimonio fue el más destacado matemático de la Edad Media, Leonardo Pisano (Pisa, 1170), más conocido como Fibonacci.
(La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Fernando Corbalán_2010.)



Fibonacci escribió obras de teoría de números, geometría y álgebra. Su obra más conocida, "Liber abaci" (Libro del ábaco), trata sobre el cálculo. A pesar se su título ambiguo, en ella trata de demostrar las ventajas de la utilización de la numeración decimal basada en las cifras arábigas sobre el modo de cálculo imperante en la Italia de su tiempo, basado en el ábaco y los números romanos. En "Liber abaci" , Fibonacci propone el famos problema de los conejos, cuya solución es la famosa sucesión aritmética ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) que hoy se conoce como sucesión de Fibonacci.
Problema de los conejos: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada vez otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?

Como se puede observar, un término de la serie de Fibonnaci se obtiene como suma de los dos términos precedentes. Una aproximación al número de oro se obtiene como relación o cociente entre un término de la sucesión y su predecesor en la misma. 21/13 será una aproximación mejor que 8/5...

Este magnífico vídeo de Cristóbal Vila toma como referencia la famosa sucesión de Fibonacci y, a partir de ella, nos adentra de manera magistral en una recreación de aspectos de la naturaleza que nos produce "esa extraña sensación llamada belleza" ligada, en este caso, al lenguaje matemático. No necesita ser comentado. En él se demuestra que una imagen vale más que mil palabras.

 


En este otro "regalo para nuestro ojos y nuestro espíritu", de Cristóbal Vila, nos sobrecoge la sensación de misterio, armonía, belleza y perfección que provoca la simetría dinámica de las formas geométricas.

La belleza geométrica en caleidoscopios.



Aspectos estéticos y místicos de la geometría.



Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de números ( como la de Fibonacci) hasta figuras geométricas ( rectángulo çaureo, espiral áurea, etc...)... Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que se habían desarrollado por separado, por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.
 La naturaleza de las matemáticas. Pautas y relaciones. American Association for the Advancement of Science

Aunque los/as alumnos/as de Primaria no entiendan bien las relaciones numéricas o geométricas que se ocultan en determinadas estructuras naturales o artificiales, conviene ponerlos en contacto (el vídeo y los modelos dinámicos son recursos muy adecuados para ello) con este aspecto de las matemáticas como "campo de estética" favoreciendo que asocien que una misma realidad se puede traducir o expresar de diferentes maneras haciendo uso de diferentes lenguajes ( numérico, geométrico,...), o que determinadas pautas o relaciones numéricas están presentes en fenómenos aparentemente muy diferentes...

Artículo relacionado con esta entrada: Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas.