martes, 11 de diciembre de 2012

El currículo de matemáticas no es sólo numeración. La numeración no es sólo cálculo.

De nuevo me veo llevado a hacer un análisis crítico de ciertos aspectos en torno al “método ABN” y al correcto enfoque del cálculo en la escuela en relación con las características del cálculo en nuestra sociedad. Soy consciente de que hacer afirmaciones rotundas al respecto nos lleva a un terreno no exento de peligros.
algoritmo ABN
Fuente: "algoritmo abn"

El blog “Algoritmos ABN” es uno de los sitios de referencia para la didáctica de la Matemática en Primaria que relaciono en la parte derecha de mi blog. Y es que estoy totalmente de acuerdo con el enfoque flexible del cálculo que Jaime Martínez Montero ha etiquetado con la marca “ algoritmo abn”.  De hecho, con anterioridad a la aparición de esta marca, una minoría de maestros/as ya veníamos defendiendo y practicando un cálculo flexible alternativo al tradicional, sobre todo desde que a finales de los 90 se multiplicaran las publicaciones que abordaban el tratamiento de algoritmos no tradicionales, de las operaciones básicas, en la escuela.

Por mi parte, vengo desarrollando con mis alumnos un cálculo pensado, flexible y basado en números y he desarrollado múltiples formatos digitales interactivos para divulgar y favorecer la práctica del cálculo (tanto descontextualizada como contextualizada)  bajo este enfoque ("Así calculamos en mi cole") aunque no bajo la etiqueta "abn".

Este enfoque flexible apuesta por el desarrollo de algoritmos no tradicionales de las operaciones aritméticas para evitar las rigideces que presentan los tradicionales. Confiere al cálculo un carácter subjetivo y creativo (frente a "Esta división se hace así", "Yo hago esta división así"). Hace del cálculo una tarea pensada, matemáticamente relevante (algo que no se puede asegurar, sin más, en enfoques más tradicionales) dándole el rango de habilidad cognitiva de orden superior; y se adapta mejor a la diversidad del alumnado presente en las aulas. Y, sobre todo, es más coherente e integrador que el cálculo tradicional ya que aprovecha la natural descomposición/composición numérica de los números y las mismas estrategias y propiedades fundamentales de las operaciones se utilizan tanto para el cálculo que se apoya en lápiz y papel como para el que se realiza  “de cabeza” (que ha pasado a ser, sin duda, el verdaderamente importante)
"Hay otra razón que aboga por la inclusión del cálculo pensado en las clases, y es que la mayoría de las personas que son consideradas hábiles para calcular rara vez hacen uso de los algoritmos usuales, sino que suelen recurrir a manipular los números para facilitarse la tarea."
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67.
"La tragedia del algoritmo estándar en la escuela, ha llegado de la mano de las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras.
Lo que para todo el mundo era un elemento crucial de cualquier currículo escolar hace veinte años, ha empezado a ser considerado como algo que va perdiendo importancia al mismo ritmo que aumenta el interés por el cálculo mental y estimativo." 
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 113.  

El cálculo que realizan la mayoría de las personas en nuestra sociedad actual es un cálculo instrumental (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,…). ¿Quién hace cálculos fuera de la escuela con ayuda de lápiz y papel? ¿Significa esto que no tiene ya sentido desarrollar razonables competencias de cálculo en nuestros/as alumnos/as?

No, evidentemente no, puesto que toda capacidad humana debe ser desarrollada. Significa plantearse la naturaleza y tipología del cálculo que tiene sentido desarrollar en la escuela, la magnitud de los números con los que se debe operar y las formas más razonables de abordarlos. Significa un esfuerzo por contextualizar el cálculo así como por el desarrollo de estrategias personales para calcular…Significa priorizar el cálculo aproximado y la estimación. Significa entender bien, de manera integrada y proporcionada, el currículo dematemáticas. 

Tradicionalmente el peso curricular recaía de manera aplastante sobre la numeración, más en concreto sobre los algoritmos de las operaciones básicas.  Se trataba de un currículo de matemáticas ciertamente empobrecido. Este es uno de los aspectos fundamentales que hay que superar. Actualmente tiene menos sentido que nunca que el cálculo (del tipo que sea) acapare la mayor parte del tiempo destinado al desarrollo del currículo de matemáticas en la escuela, sobre todo si se trata de un cálculo predominantemente descontextualizado. No faltan los que abogan por destronar el cálculo de la cima del quehacer matemático en el que se encuentra. Hay que asumir que el currículo de matemáticas de Primaria aborda las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Y que el eje vertebrador de estos bloques es la resolución de problemas. 


"Jaime Martínez, inspector de educación, explorador de algoritmos, ha soñado un mundo sin cuentas. Ha ido más allá. Lo está poniendo en práctica. 225 niños de Primaria de la provincia, entre Primero y Quinto, aprenden matemáticas sin hacer cuentas..."
Cuando uno visita el blog “Algoritmos ABN (que persigue entre sus objetivos explícitos erradicar las viejas cuentas y favorecer una matemática más divertida), observa que casi la totalidad de la ingente cantidad de imágenes y vídeos que en él se incluyen  se centran en cálculos numéricos. Aparentemente se trata de "nuevas cuentas" que se articulan en forma de tablas de números. Sin embargo hay una diferencia notable con las cuentas tradicionales. Desde que se inicia el proceso de resolución, cada fila que se va escribiendo es una igualdad equivalente a la anterior, de manera que no hay que esperar a que el proceso haya acabado para haber transformado de manera coherente el cálculo inicial propuesto: 236 - 189 = 136 - 89 = 106 - 59 = 100 - 53 = 50 - 3 = 47 (para una resta "por comparación"), o 236 - 189 = 11 + 36 ( para una resta "por escalera ascendente"),...

Evidentemente el hecho de que se recurra continuamente a la pizarra o al papel de una ficha o cuaderno no significa que no se trate de un cálculo “pensado”. Otro aspecto a tener en cuenta es que se utilizan algoritmos extendidos, más extensos, que van dando cuenta de cada uno de los pasos realizados. Esto no debe identificarse con una mayor dificultad que los tradicionales (que son “más económicos”) dado que a medida que un alumno progresa en el desarrollo de competencia en cálculo se reduce notablemente el número de pasos que utiliza para resolver un cálculo determinado. No me cabe duda del buen enfoque que se hace en ese sentido, priorizando claramente la comprensión sobre la mecanización y favoreciendo el afloramiento de modos personales de realizar los cálculos.
  
Pero, con sinceridad, siento que los/as maestros/as debemos ser muy torpes cuando parece ser que necesitamos que se nos ilustre hasta la saciedad el mismo método de cálculo para cada uno de los diferentes cálculos posibles (que son, evidentemente, infinitos). En realidad, casi todo se reduce a que tanto la suma, resta, multiplicación y división se pueden realizar “por partes”,  de manera flexible o personalizada ( no necesariamente todos/as los/as alumnos/as en los mismos pasos ni con los mismos números) y basándose en la descomposición numérica y las propiedades fundamentales de las operaciones básicas. Es por ello que el blog aludido transmite visualmente la idea de que el quehacer fundamental en  matemáticas de Primaria es el cálculo. No vemos en el blog ninguna referencia al mundo del espacio y las formas ( a excepción del método para resolver raíces cuadradas), ni al de la incertidumbre …

Podríamos extendernos tanto como quisiéramos en poner de manifiesto (como se hizo desde el origen de las matemáticas) las relaciones entre números y formas, cómo se apoyan y refuerzan mutuamente y cómo fruto de esa simbiosis se ponen de manifiesto con mayor fuerza patrones  o regularidades numérico-geométricas… No tendría nada que objetar si se identifica el “método ABN” con un método de cálculo, como así se presenta habitualmente. Pero es que desde el blog aludido y desde otros, así como desde diferentes medios de comunicación y documentos se hacen afirmaciones (a mi juicio poco rigurosas) más generales que apuntan hacia una inconveniente metamorfosis ( CÁLCULO = ALGORITMOS ABN = "LA SENDA PARA  ALCANZAR COMPETENCIA MATEMÁTICA"). ¿Debe interpretarse como la única senda? ¿Debe interpretarse que la competencia en cálculo es la única o más importante de las competencias matemáticas? Espero que no, porque ello supondría reducir el currículo de matemáticas a simple cálculo, volviendo a incurrir en errores parecidos a los que se pretendía superar… Esto me parece especialmente peligroso en estos tiempos tan tecnológicos en los que curiosamente se exalta más que nunca el desarrollo de la capacidad de cálculo (a veces de manera poco razonable, como si se pretendiera crear "calculadoras humanas") identificándolo con la excelencia en matemáticas.

Me voy a limitar aquí al análisis de algunas afirmaciones relacionadas con la resolución de problemas y con la descripción de las características del "cálculo abn": 
Con la nueva didáctica de las matemáticas que propugna Jaime Martínez se llega a los resultados correspondientes por desagregación o descomposición de las cantidades a operar... (Jaime.M.M)
¿Nueva didáctica de las matemáticas o no tan nueva didáctica del cálculo? 
"Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"(Jaime.M.M)
Uno de los grandes "fallos" en la enseñanza tradicional de la aritmética es que se identifica operación con el algoritmo (cuenta) que la resuelve:
"Nuestro aprendizaje de cada una de las operaciones está tan ligado a su algoritmo que se suele confundir operación con el algoritmo usual que la resuelve" Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67. 
No volvamos a cometer el mismo error (operación ¹ algoritmo de la operación)
Además, desde hace mucho tiempo los maestros nos venimos  quejando de que los alumnos no sepan con qué operación (u operaciones) se resuelve un determinado problema ("¿Es de sumar o de restar?"), en mucha mayor medida que sobre la propia realización de los cálculos. 
"Los algoritmos ABN aumentan notablemente la capacidad de resolución  de problemas" (Jaime.M.M)
¿Cómo? ¿De qué manera? ¿De qué problemas? Porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos - que no son los únicos-, es una de las fases finales del proceso de resolución, y no precisamente la más relevante. A no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo. Esto sólo podría aproximarse a la verdad en los problemas aritméticos más elementales, los de una sola operación, en caso de que se presenten a los alumnos de forma que el "espacio de búsqueda" sea prácticamente inexistente. (Ver "Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)") 

"Un grupo de investigadores europeos ha visitado recientemente el Colegio San Rafael (Cádiz) para conocer el funcionamiento de este método de cálculo ideado como sabemos por Jaime Martínez, inspector de educación de la Delegación de Cádiz.

Procedentes de distintos países como Austria, Holanda, Alemania, etc. dichos investigadores pudieron comprobar de primera mano los resultados de este revolucionario método que demuestra que los alumnos de primaria mejoran no sólo su nivel de cálculo y su capacidad de resolución de problemas sino también su motivación en el aprendizaje de las matemáticas." [...]

[Fuente: "Las matemáticas de Cádiz". Diario de Cádiz (versión impresa). Fecha: 21/09/2012]

Algoritmos y resolución de problemas
Fuente: "algoritmo abn"
En el blog “Algoritmos ABN”, se hace bastante alusión teórica a la relación entre las operaciones y las tipologías de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) que resuelven. Sin embargo este "revolucionario método ABN” no explicita ningún método concreto de resolución de estos problemas. Encontramos casi exclusivamente un modelo de resolución de PAEV, el modelo más tradicional. Con frecuencia vemos imágenes en las que el/la maestro/a ha escrito el enunciado de un PAEV en la pizarra y, a continuación, sin más, el algoritmo extendido con el que se resuelve. Es cierto que se asocia con mucha frecuencia un cálculo concreto con un determinado problema como forma de contextualizar el cálculo, y que incluso se hace una análisis comprensivo del enunciado. Lo peligroso es  asociar el algoritmo con la resolución de un PAEV ( incluso para los problemas más elementales), como se recoge en este texto del propio Jaime M. M. (hablando de la "doble resta" y de la "sumirresta"):

"[...] Aparte del nuevo campo de posibilidades de cálculo que abre, la importancia fundamental de estas operaciones radica en que simplifica enormemente el mundo de los problemas porque convierte, de golpe y sin transición, muchos de ellos de dos operaciones que son difíciles para los niños (todos los de dos restas y todos los de una suma y una resta) en problemas de una operación, simplificando enormemente la complejidad de su comprensión y su realización. Hay siete problemas distintos de sumar y, como vimos hace poco, trece diferentes de restar. Quiere decir que, combinándolos simplemente, nos salen 91 problemas distintos de sumar y restar (13 x 7), y 169 de dos restas (13 x 13). Es decir, que con la doble resta y la sumirresta cambiamos 260 problemas diferentes de dos operaciones en problemas de una operación. ¡Casi nada!


Los problemas de dos operaciones son especialmente difíciles para los niños. No es complicado averiguar por qué y hay una amplia literatura científica que da cuenta de ello. Para nuestro propósito, baste pensar que en un problema de una operación aparecen los datos y la pregunta. En uno de dos operaciones aparecen los datos de la primera operación, pero no la pregunta, mientras que en la segunda operación sí aparece la pregunta, pero solo uno de los datos. Véase el caso siguiente: “Un bosque con 2145 árboles se incendia y arden 368. Después plantan 325 árboles más. ¿Cuántos árboles hay ahora?” Es evidente que la primera operación (2145-368) no tiene pregunta, y que la segunda (1777+325) no tiene el dato de los 1777 árboles.


Por lo anterior, la sumirresta facilita mucho todo el proceso. Es fácil pasar directamente del texto al formato del algoritmo, y luego permite múltiples posibilidades de desarrollar los cálculos de uno u otra manera. La resolución clásica obliga a realizar primero una operación y luego otra, mientras que aquí se pueden abordar los cálculos sucesiva o simultáneamente." 

Aquí se hacen afirmaciones explícitas e implícitas a mi juicio poco rigurosas:
  • Hay operaciones que simplifican enormemente la complejidad de la comprensión de un determinado problema, cuando comprender un problema implica previamente descubrir las relaciones entre las magnitudes y las operaciones que transforman unas en otras...Ahí radica precisamente la esencia del acto creativo que supone la resolución de un problema y ahí radica, por tanto, su dificultad. De nuevo se identifica operación con algoritmo de la operación, que es un útil para efectuar ésta, y parece identificarse la realización del algoritmo con la esencia de la resolución de un problema. No comparto tal idea.
  • Parece que la tipificación de problemas es pura aritmética combinatoria. Aunque estoy seguro de que esa no es la visión de Jaime M.M. al respecto.
  • Parece que el proceso de resolución de problemas aritméticos se limita al paso del enunciado al formato del algoritmo, es decir, del texto al cálculo. Esta peligrosa asociación más que superada en la amplia literatura científica a la que el propio Jaime M. M. alude, supone un  reduccionismo del aspecto más troncal y vertebrador del currículo de matemáticas: la resolución de problemas (RP). Si bien esto se puede hacer fácilmente, aunque no sea lo más conveniente en la R.P, para PAEV de nivel 1(una sola operación), me llama poderosamente la atención lo artificioso que resulta justificar la doble resta y la sumirresta en relación con la resolución de PAEV de nivel 2. Sinceramente, parece un invento para encajar, con calzador, la resolución de estos problemas con un único algoritmo... No creo que sea éste el camino más conveniente en la búsqueda de comprensión. Me parece una senda poco conveniente en la didáctica de RP, máxime viniendo de una persona que apuesta por algoritmos extendidos, aunque sean menos económicos que los tradicionales, para  favorecer una mayor comprensión de los cálculos realizados y el desarrollo de estrategias de cálculo... 
Para terminar: 
Desde una perspectiva holística de las matemáticas, cualquier parte (bloque de contenidos) debe gozar en buena medida de los atributos de la totalidad (currículo de matemáticas) pero no sería riguroso  identificar la parte con el todo ni  el todo con la parte.






domingo, 25 de noviembre de 2012

Regularidades en el plano. Mosaicos, cenefas, celosías...

En la entrada titulada "Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas", se comentaba que un recurso barato y de enorme interés didáctico para trabajar aspectos geométricos a lo largo de toda la Etapa Primaria lo constituyen las tramas (o mallas) de puntos ( la trama ortométrica y la isométrica, fundamentalmente).  Éstas, a efectos prácticos,  pueden ser consideradas geoplanos dibujados. Podemos fotocopiarlas y obtener tantas copias como se desee de las mismas. Permiten abordar numerosas cuestiones de geometría dibujada (el dibujo es el procedimiento específico de la geometría) a lo largo de toda la Educación Primaria.

Entre las cuestiones que permiten abordar, y enlazando con la entrada anterior de este blog, se encuentra el trabajo apoyado en el descubrimiento y aprovechamiento de patrones y regularidades geométricas en relación con el diseño de mosaicos, cenefas, celosías... Puesto que la la geometría dibujada pone de manifiesto aspectos artísticos y plásticos que se sustentan en aspectos matemáticos, podemos aprovechar las tramas de puntos para interrelacionar  Matemáticas y Educación Plástica en Primaria.



domingo, 18 de noviembre de 2012

Regularidades en matemáticas. Patrones

Las matemáticas son una ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. 

La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Cada uno de estos ámbitos, obviamente, presenta regularidades específicas. De una manera especial, muchas regularidades pueden ser expresadas numérica y gráficamente...



Estándares curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática publicados por la S.A.E.M Thales en 1991"Denominamos patrón a la traducción de la palabra inglesa pattern, la expresión que lo define puede ser: Toda situación repetida con regularidad da lugar a un patrón.
Un cierto punto de vista actual, considera la matemática como la ciencia de los patrones. Se supone que lo que la matemática estudia son las regularidades que se producen en la vida real."
("RAZONAMIENTO INDUCTIVO DESDE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA".Encarnación Castro Martínez. Dtº. De Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada)



En los "Estándares curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática" (National Council of Teachers of  Mathematics), publicados por la S.A.E.M. THALES en 1991- ADDENDA SERIES, Nivel Inicial-, en relación con los PATRONES,  se recogen, entre otras muchas, las siguientes afirmaciones, que comparto totalmente:
"Desde los niveles más tempranos, el currículo ha de dar al estudiante la oportunidad de fijarse en la regularidad de los sucesos, formas, dibujos y conjuntos de números. Los niños han de empezar a ver que la regularidad es la esencia de las matemáticas. (Estándares 1991, p. 60)"
"Cuando se integra el conteo con actividades de patrones se enriquecen aún más las experiencias matemáticas de los niños..."
"Las actividades con patrones [basados en objetos físicos y dibujos] estimulan a los niños a reforzar sus destrezas comunicativas por medio de la descripción oral de patrones y constituyen un enlace natural entre las matemáticas y las demás materias" 
Patrones con imágenes para estimular explicaciones, razonamientos y argumentaciones

En los estándares aludidos se hacen sugerencias relacionadas con la impresión de patrones, transferencia de patrones, empleo de patrones (cuentos repetitivos, patrones con números,...).

Un buen enfoque del tratamiento de la matemática en Primaria debe basarse en poner de manifiesto y aprovechar las regularidades que se dan en cada uno de los bloque de contenidos. He aquí un documento de gpdmatematica.org.ar (en .pdf) que nos permiten profundizar en el tema de los patrones:

En el blog  "PuntMat" podemos encontrar varios artículos interesantes y muy bien ilustrados sobre relaciones y cambios que profundizan en los patrones relacionando números y formas.

¿Cómo tratan las aplicaciones_TIC interactivas este tópico matemático?

Me voy a limitar a presentar tres aplicaciones diferentes:


Sucesiones y patrones
Esta primera aplicación, "Sucesiones y patrones" de e-learningforkids.org,    presenta una interactividad "del lado del profesor"  explicando muy bien cómo reconocer patrones numéricos, centrándose en la determinación de la operación que permite pasar de un término a otro y en adivinar el número que sigue en una sucesión numérica.   
Aunque presenta algunas sucesiones relacionas con hechos reales (la regularidad observada en las manchas solares, por ejemplo) utiliza un modo de presentación predominantemente simbólico (números).


Patrones gráfico-numéricos
En esta otra aplicación, del  Freudenthal Instituut, se relacionan patrones gráficos y numéricos. La interactividad aquí, está puesta más al servicio del alumno que en la anterior y se centra en el descubrimiento y expresión de los patrones propuestos en diferentes grados o niveles de dificultad. A mi juicio, refuerza en mayor medida la relación entre el razonamiento inductivo y la búsqueda y descubrimiento de patrones.

El descubrimiento de regularidades como estrategia de recuento
En esta tercera aplicación "¿Cuántos?" se "obliga" a los/as alumnos a  utilizar diferentes y eficaces estrategias de recuento de elementos distribuidos en el espacio 2D y 3D, así como a la cuantificación de conjuntos numéricos que presentan regularidades que favorecen el razonamiento inductivo y, por tanto, la generalización. La idea que subyace en la misma es que descubrir las regularidades existentes se muestra como una potente estrategia para el recuento.

Presenta 20 escenas diferentes, lo que permite diversificar y enriquecer los contextos en que aparecen regularidades (mosaicos, poliedros, embaldosados, construcciones policúbicas, construcciones tridimensionales y planas diversas, sucesiones numéricas...).  El descubrimiento  de las regularidades ayuda a la cuantificación y ésta, a su vez, favorece el descubrimiento de patrones...



sábado, 17 de noviembre de 2012

Adaptando aplicaciones a su uso con PDI

Desde "didactmaticprimaria" se continúa mejorando las aplicaciones que se ofrecen. Hoy aporto dos aplicaciones antiguas (de 2007 -entonces mi centro no disponía de pizarras digitales interactivas; ahora contamos con 10-) que han sido mejoradas para adaptarlas a su utilización con PDI : "Canicas" y "Multiplicando por partes ".

Canicas. Simulación de problemas aritméticos.
"Canicas" permite la realización de 20 problemas diferentes (divididos en dos niveles de dificultad) en los que hay que realizar una simulación de las relaciones expresadas entre el número de canicas que tiene Laura y las que tiene Luis. Se ha mejorado su adaptación a la PDI permitiendo que las cantidades se seleccionen mediante botones de incremento y no necesiten introducirse desde el teclado. Además, "obliga" a realizar la simulación (colocar a cada niño el número adecuado de canicas) para contabilizar aciertos.
Otras muchas aplicaciones que tratan la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS desde planteamientos no rutinarios e innovadores, profundizando en la búsqueda de "Metamodelos -TIC " se ofrecen en "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV".


Multiplicando por partes. Propiedad distributiva

En "Multiplicando por partes " se ha mejorado su adaptación a la PDI permitiendo que los resultados de los productos parciales puedan ser introducidos, además de desde el teclado, pulsando sobre el panel de botones numéricos desplazable que aparece en pantalla. Además de sugerir un orden de completado, se ha posibilitado la elección libre de la casilla a completar.
Permite practicar la multiplicación "por partes" basada en la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma ( que es, a su vez, la estrategia fundamental para el cálculo multiplicativo). Presenta tres niveles o grados de dificultad diferentes. Forma parte de un conjunto de aplicaciones que abordan el cálculo multiplicativo desde la fase manipulativa, pasando por la fase gráfica, hasta llegar a la fase simbólica (sólo números, a la que corresponde esta aplicación)  ofrecidas en "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_II".

jueves, 8 de noviembre de 2012

Dinamic Paper, de Illuminations

Desde Illuminations, se ofrece, entre otras muchas, esta interesante aplicación que nos permite generar fácilmente elementos gráficos para el diseño de actividades de matemáticas: rectas numéricas, tramas de puntos, ejes de coordenadas rectangulares y polares, desarrollos planos de poliedros básicos, mosaicos, etc... Permite que personalizemos nuestro trabajo mediante la configuración de determinados parámetros de cada  elemento gráfico elegido. Las elecciones y configuraciones realizadas se pueden ir añadiendo a diferentes páginas de un documento que puede, luego, ser descargado en formato .pdf. También se puede descargar en formato JPEG.


Dinamic Paper, una aplicación de Illuminations



miércoles, 7 de noviembre de 2012

Diseñando mosaicos con una familia de teselas isoperimétricas

Diseño de mosaicos con una familia de teselas de igual perímetro.
Mosaicos con teselas curvilíneas de igual perímetro


Os presento la última aplicación que he mejorado.
Se basa en una familia de figuras de igual perímetro. Cada una de ellas está formada por cuatro cuadrantes de circunferencia del mismo radio.
Mediante la obtención de tantas copias como se desee de cada una de ellas, su traslación y rotación - de 90º en 90º- y el ajuste perfecto en la pantalla de diseño, se pueden realizar actividades de obtención de figuras complejas a partir de estas figuras elementales; mosaicos; exploración de las propiedades de teselación o pavimentación del plano de cada figura; diseño libre de motivos ornamentales; diseños simétricos...




Trabajando la percepción analítica mediante el copiado de figuras.
También se ha mejorado el código de la aplicación "Copiar figuras" para permitir que el usuario copie la figura pulsando sobre un número variable de vértices. Tenía algunos errores de comprobación y daba por válidas figuras no correctamente copiadas.
Esta interesante aplicación permite trabajar, de manera muy amena, la percepción analítica




(Ambas aplicaciones están incluidas en la colección "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_I")

sábado, 3 de noviembre de 2012

El círculo, un polígono regular muy especial. Áreas de figuras básicas. Relaciones.

La nueva aplicación que se ofrece es el resultado de la adaptación y mejora de algunas aplicaciones que había realizado hace años y que, al contrario que ésta, no estaban adaptadas para su utilización con PDI.

Desplegando un polígono regular para convertirlo en un rectángulo de áreas equivalente
Desplegando un polígono regular
Se trata de una aplicación muy completa que ilustra, de manera dinámica, cómo se obtienen las áreas de figuras básicas (triángulo rectángulo, otros triángulos, paralelogramos, cometas, trapecios, polígonos regulares y círculo) a partir del área del rectángulo. También propone el cálculo estratégico de áreas de familias de figuras obtenidas en mallas cuadradas y en mallas triangulares equiláteras así como el área de las figuras básicas antes mencionadas.

En ella se le da un tratamiento especialmente interactivo al área de un círculo a partir del área de un polígono regular. Y al área de ambos a partir de la del rectángulo (también a partir de las áreas de paralelogramos y romboides).

En Primaria suele presentarse el círculo como un no polígono ( porque no tiene lados rectos). Esto no es sino consecuencia de una visión tradicional y estática de la geometría. Desde una perspectiva dinámica, como la que ofrece esta aplicación, es fácil ver y comprobar cómo un polígono regular de 30 ó 40 lados, inscrito en un círculo, apenas puede diferenciarse del mismo. ¿Y si aumentamos el número de lados a 200 ó 1000? ¿Qué tendencia muestra su apotema?¿Y la longitud de sus lados? No resulta chocante, pues, aceptar que un círculo es un polígono regular de infinitos lados rectos infinitamente pequeños. En el caso límite (al aumentar progresivamente el número de lados) la apotema se confunde con el radio del círculo, la longitud del lado del polígono regular tiende a cero y el perímetro tiende, sin sobrepasarlo, al valor de la longitud de la circunferencia. 

Estos casos límite (como ocurre cuando se consideran los triángulos casos límite de cometas)  pueden ilustrarse de manera óptima gracias a las aplicaciones que, de una manera u otra, permiten abordar geometría dinámica.





En el siguiente vídeo se nos ofrece una manera curiosa y original de acercarse al área de un círculo. Aunque se realice con elementos tridimensionales (esferas idénticas), no es difícil imaginar la correspondiente demostración con círculos idénticos tan pequeños como se desee (con puntos). La ilustración es muy sugerente y acertada:


lunes, 29 de octubre de 2012

Propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas. Ciclo Medio. Educación Primaria


Desde el centro de recursos para enseñar y aprender matemáticas del Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Catalunya (cesire/creamat), se nos ofrece este documento que  recoge algunas propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas en el ciclo medio de la Educación Primaria.





Este documento, en lo referente a las operaciones básicas, se podría completar y matizar, con este otro de David Barba y Cecilia Calvo:




También es interesante contar con esta otra visión de las operaciones centrada en algoritmos Abiertos y Basados en Números (aunque no comparto algunas afirmaciones que se hacen en el documento tales como " ...algoritmos ABN = la senda para alcanzar competencia matemática" -porque excluye otras sendas más relevantes -; "Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"- cuando todos sabemos el papel determinante , entre otros, del pensamiento,  la afectividad, la metacognición y las habilidades lingüísticas-  y, sobre todo, "El cálculo basado en algoritmos ABN aumenta notablemente la capacidad de resolución de problemas" - porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos, es una de las fases finales del proceso y no precisamente la más relevante, a no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo .  Ver artículo anterior a éste en este mismo blog-) :





Comparto, en lo esencial, los enfoques y propuestas recogidos en estos documentos en lo relativo al tratamiento del bloque aritmético (a mi juicio los otros bloques no están suficientemente bien tratados en el primer documento) Pero, dado que no aluden a recursos educativos (impresos, manipulables físicos o virtuales, ...) que pudieran utilizarse  para este fin coherentemente con estos enfoques, me voy a permitir enriquecerlos  sugiriendo aplicaciones (contenidos educativos multimedia) que se ofrecen en este blog, para cada una de las propuestas realizadas. Me voy a limitar al apartado OPERACIONES con el fin de que este post no sea demasiado extenso.


sábado, 27 de octubre de 2012

Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)

En Imágenes y modelos dinámicos para estimular explicaciones, razonamientos y argumentaciones en Matemáticas  ya traté el desarrollo de competencias lingüísticas en el contexto de interpretación de situaciones cuantitativas no verbalizadas. 

El documento que ofrezco en este artículo se centra en el análisis de un método de resolución de PAEV  que pone el énfasis en hacer explícita la estructura del problema a dos niveles: el del procesamiento lingüístico (que lleva a la expresión prealgebraica de la igualdad directriz del problema) y el del procesamiento matemático (que traduce la anterior en forma de expresión algebraica que es la solución del problema).

Haciendo explícita la estructura del problema tanto a nivel del procesamiento lingüístico como a nivel del procesamiento algebraico









De esta manera se hacen especialmente patentes en el contexto de RP las interrelaciones entre competencias lingüísticas y matemáticas (Leer, Pensar y Razonar, Hablar, Argumentar, Escuchar, Escribir, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico,...)

La presentación que sigue pretende ser eminentemente práctica.  Además de enlazar con documentos teóricos, presenta un buen número de enlaces a aplicaciones TIC que pueden ser integradas en nuestras programaciones para trabajar de manera diferente cada uno de las fases del método. Presenta, además, enlaces a baterías de problemas no rutinarios ( en formato .pdf) atendiendo a diferentes estructuras, niveles y modelos de resolución de este tipo de problemas.

Espero que os sirva para vuestra práctica en el aula.


domingo, 30 de septiembre de 2012

"Si España fuese un pueblo de 100 habitantes.." Estadística en Primaria.

De manera análoga al vídeo de Adrián Paenza " CIFRAS IMPORTANTES DEL MUNDO", ofrecido en un post anterior, el objetivo del vídeo que sigue es transmitir de forma sencilla la utilidad de las estadísticas oficiales para reflejar la sociedad en que vivimos. En este caso, los datos no se refieren al mundo entero sino que se circunscriben a España.


No cabe duda de la utilidad del vídeo como recurso didáctico, sobre todo si se ha realizado con tal fin. Si contamos con una PDI en el aula, mejor que mejor.

En este caso, el vídeo comunica numerosos datos relativos (se trata de porcentajes, obviamente, ya que, como indica el título, hacen referencia a 100 habitantes) y simplificados (se utilizan sólo números naturales en la presentación) sobre diferentes aspectos sociales que están al alcance y dentro de la zona de interés de alumnos y alumnas del tercer ciclo de Educación Primaria. Tanto para poder presentar los datos de esta manera tan sencilla como para su correcta interpretación, se requiere un correcto dominio del RAZONAMIENTO NUMÉRICO PROPORCIONAL (que conecta contenidos de matemáticas fundamentales del tercer ciclo: multiplicación/división, fracción, fracciones equivalentes, fracción de un número, tabla de proporcionalidad, interpretación de gráficas,...)

En varios post de este blog (Razonamiento proporcional y multiplicación, Métodos especiales de resolución de problemas aritméticos. Problemas de móviles en Primaria,...) he opinado sobre la importancia del desarrollo de este tipo de razonamiento (que todos los/as alumnos/as tienen en mayor o menor grado) para el logro de competencias matemáticas y he sugerido un enfoque natural y nada artificioso en su enseñanza aprendizaje que se basa en la construcción  e interpretación de TABLAS DE PROPORCIONALIDAD (las tablas de multiplicar pitagóricas, o tablas tiempo/espacio -para un móvil con velocidad constante- son casos particulares de las mismas) como paso previo a posteriores formalizaciones y, sobre todo, para poner de manifiesto con mayor rotundidad las propiedades esenciales que entran en juego en el razonamiento numérico proporcional.

Evidentemente nos estamos refiriendo a la proporcionalidad directa, que es inherente a la multiplicación.

Dado que multiplicación/división conforman un mismo campo conceptual, el  más importante, sin duda,  en las matemáticas de 3º ciclo de Primaria y puesto que con frecuencia un buen número de maestros/as no suele percatarse o asumir que temas como la DIVISIBILIDAD  o la PROPORCIONALIDAD no son sino el tratamiento de ese mismo campo conceptual desde miradas o  perspectivas ligeramente diferentes, voy a volver a insistir, aquí, en ciertos aspectos didácticos del mismo aprovechando que el vídeo que encabeza este post trata sobre "proporcionalidad directa", es decir, sobre multiplicación/división.


Como se muestra en la imagen anterior, la proporcionalidad directa es inherente a la multiplicación, es decir, consecuencia directa de la misma. Por tanto, la proporcionalidad directa "hereda" las propiedades de la multiplicación. No obstante, sería un tanto "artificioso" calcular el valor de la incógnita (¿?) estableciendo una proporción y haciendo uso de la regla de tres. Mucho más natural es recurrir a resultados previos (hechos numéricos)  más sencillos haciendo uso de la importantísima propiedad distributiva (que equivale a poder multiplicar "por partes"): 12 x 7 = (10 + 2) x 7 = 70 + 14; 12 x 7 = (3 + 3 + 3 + 3) x 7 = 21 + 21 + 21 + 21 ; 12 x 7 = (6 + 6) x 7 = 42 + 42; etc...

Esta es la estrategia fundamental que asegura más comprensión y competencia en el cálculo multiplicativo y proporcional.

viernes, 31 de agosto de 2012

¿Es novedoso el llamado "Método Singapur" de matemáticas?

Hace unas semanas un docente chileno me felicitaba por los contenidos educativos de este blog y me preguntaba si en la concepción didáctica de los mismos subyacía  el “nuevo Método Singapur”, método que desde 2011, y de manera voluntaria, se está experimentando en Chile y otros países latinoamericanos movidos por el éxito que el pequeño país asiático (Singapur, con algo menos de 5,5 millones de habitantes) viene alcanzando en pruebas evaluativas internacionales de Matemáticas tales como Timss y PISA.

Este comentario_pregunta me movió a interesarme de manera especial por el método aludido, que no conocía...

  • ¿Cómo se presenta el método? ¿Cómo se concreta por parte de algunas editoriales?

...La fórmula, que tiene a Singapur como líder de las mediciones Timms a nivel mundial, se está perfeccionando en las aulas de casi 300 colegios y liceos de Chile, tanto del sistema público como privado y su eficacia está basada tanto en factores técnicos como valóricos:
  • Las matemáticas no se enseñan a partir de números ni tampoco desde una pizarra.
  • La introducción de los conceptos se inicia con una vivencia del propio alumno, luego se refuerza con una representación pictórica (figuras de plástico) y finalmente se suma la abstracción.
  • Los alumnos son los que hablan de sus experiencias, no los profesores. La idea es que los niños relacionen las matemáticas con su propia vida.

Fuente: Biblioteca del Congreso Nacional de Chile.

“Lo más interesante es que el método usado en Singapur contrasta con lo que pasa en los países angloamericanos y su influencia en otros como en Chile. Acá se usa el llamado currículo en espiral que aísla pocas ideas, pocas nociones matemáticas y las  trabaja con plenitud y en profundidad. Si uno abre un libro de matemática estadounidense o nuestro verá grandes teorías, fórmulas, ejercicios, mucho contexto y variedad, pero en Singapur usted verá menos cosas, demasiado humilde quizás, pero ahí hay una profundidad pedagógica tremenda. Es decir tenemos menos contenido pero profundo y luego eso ayuda a seguir adelante”, explica la Dra. Lorena Espinoza.





El enfoque metodológico CPA alude a la progresión desde lo concreto a lo pictórico (imágenes),para finalizar con lo abstracto (símbolos).

He aquí una presentación sobre los "Fundamentos del Método Singapur"
Vídeo. Fuente: Youtube //Biblioteca del Congreso Nacional de Chile.


He aquí algunos materiales de la editorial Santillana, en formato .pdf, que concretan el Método gráfico Singapur de resolución de problemas en el curso inicial:   Libro alumno   ///   Libro maestro.


En el blog Matemáticas Maravillosas se encuentra mucha más información, imágenes y enlaces para conocer a fondo el "Método Singapur".

  • ¿Es un método novedoso?

Después de investigar un poco sobre el llamado “Método Singapur” y "Método gráfico Singapur", sin pretender entrar a analizar las claves o variables de las que pueda depender su éxito, adelanto ya que me parece un buen enfoque para la enseñanza-aprendizaje de la matemática, que se puede llevar perfectamente a cabo al margen de las propuestas concretas de determinadas editoriales (si bien éstas pueden ser una ayuda valiosa para muchos/as maestros/as, también pueden limitar y condicionar a otros/as) y con gran diversidad de materiales manipulativos  (analógicos y digitales) y que no me parece que aporte innovación o novedad relevante (como argumentaré más adelante) sino que hace hincapié en aspectos  didáctico-metodológicos relevantes que vienen siendo asumidos en las mejores prácticas y forman parte de los estándares internacionales para la enseñanza-aprendizaje de la matemática: progresión de lo concreto a lo abstracto pasando por lo gráfico-pictórico; aprendizaje progresivo de conceptos - retomar los mismos contenidos pero con diferente grado de avance-; variaciones graduales en la dificultad de las tareas o retos propuestos; una matemática no enfocada en los cálculos, ni en la memorización, ni en procedimientos o fórmulas sino en la comprensión y los significados, en el uso de estrategias flexibles de razonamiento y de resolución de problemas, etc...


Entiendo el interés especial (comercial) de las editoriales por presentar como muy novedoso lo que no lo es tanto (“el auténtico Método Singapur”, es la ortodoxia que se propone y se anima a seguir fielmente la secuencia de actividades propuesta). Con frecuencia, los métodos, así concebidos, son ante todo eficaces denominaciones para conseguir objetivos eminentemente comerciales. Muy a menudo la etiqueta, la denominación, precede a la totalidad del contenido, con la intención de sugerir y delimitar algo muy novedoso, cuando no revolucionario, que sólo está dentro del método, que a su vez se concreta, de manera ortodoxa, con unos determinados materiales de unas determinadas editoriales... No en pocos casos el “método” se confunde con la propuesta concreta del mismo hecha por una determinada editorial, que no niego que suponga una buena ayuda orientativa, pero que no debe convertirse en una restricción más o menos dogmática de enfoques más abiertos. Puede ocurrir, incluso, que los métodos sirvan para crear, de manera maniquea, clases de profesores (los que llevan un determinado método a cabo de manera “ortodoxa”, claro está, y los que no), lo que puede conllevar, desde determinadas instancias educativas, a valoraciones poco precisas, incluso injustas, del desempeño profesional de estos docentes…
Más que formarse en un determinado método, el profesorado debe formarse, a mi juicio, en epistemología y didáctica de la matemática, en el conocimiento comparado y análisis de los recursos más adecuados para apoyar su trabajo; y estar perfeccionándose continuamente como profesionales. 

Me reafirmo en  mi convicción personal: no soy partidario de métodos concretos concebidos como “modos ordenados y sistemáticos de proceder, en general, en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas” cuando éstos son inflexibles. Sí creo, en cambio, en determinados enfoques metodológicos, flexibles, contrastados por la Didáctica de la Matemática, en las claves que conducen a unas mejores prácticas y en principios que se recogen muy bien en los Nuevos Estándares para la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática.


Según se muestra en algunos vídeos, lo que el profesorado más valora es la disponibilidad de material didáctico en cantidad y calidad suficiente como condición previa para una educación matemática atractiva y de calidad. Si los centros educativos que experimentan con este método reciben una dotación especial de material didáctico, el método es acogido, lógicamente, como  una bendición... En este aspecto me llama la atención que en el método la tecnología no sea un componente esencial del entorno de enseñanza-aprendizaje. No tiene en cuenta la integración de las TICs a las que alude el gobierno de Chile, ni las posibilidades que éstas ofrecen  para el desarrollo de nuevas habilidades, también desde los niveles básicos; ni al aprovechamiento de la ingente cantidad de contenidos educativos digitales abiertos y gratuitos disponibles en la red, ni a su potencial para compensar carencias y desigualdades... ni al uso pedagógico de materiales y recursos TIC". Las matemáticas no se enseñan a partir de números ni tampoco desde una pizarra", se decía en la presentación del método. Sin embargo una  pizarra digital nos puede permitir que los/as alumnos comiencen a experimentar materiales más versátiles que los típicos materiales analógicos, modelos interactivos adecuadoa a su edad, etc...

Esta reflexión me lleva de nuevo al comentario-pregunta inicial de mi colega chileno para responder indirectamente a la pregunta que me hacía. Muchos de los contenidos educativos de este blog surgieron, al margen claro está del método Singapur, con una intención claramente compensadora de desigualdades- de hecho, mi centro de trabajo durante muchos años fue centro de actuación educativa preferente, o de compensatoria, si se desea-. Dado que el material didáctico analógico es caro y muchos centros no  lo pueden conseguir en cantidad suficiente, comencé a diseñar versiones digitales de los correspondientes analógicos (bloques multibase, ábacos, reloj didáctico, balanzas numéricas, juegos de polígonos para composición de figuras, juegos de poliedros, pizarras geométricas y otros muchos materiales para "construir la geometría", juego de fracciones, formatos interactivos para el cálculo pensado, cartulinas multiproblemas,  una gran variedad de modelos dinámicos interactivos, etc...). Me di cuenta, pronto, que el diseño - con Flash, en mi caso- me permitía concebir y realizar materiales digitales novedosos cuya implementación analógica no es posible... Así, cuando llevaba a mis alumnos/as al aula de ordenadores, todos podían "manipular" un buen número de materiales digitales con enorme facilidad. Internet me ha permitido, luego, compartir estos materiales para que puedan ser aprovechados por alumnos/as de cualquier lugar del planeta, en especial los de habla hispana.

 
Pero, me estoy extendiendo demasiado y, como indiqué anteriormente, quisiera argumentar a continuación cada una de las razones por las que, aunque correcto y bien enfocado, no me parece novedoso el método Singapur. Todo ello porque me servirá, a su vez, de pretexto para tratar sobre interesantes cuestiones didácticas: