domingo, 25 de marzo de 2012

Dividir una tarta en partes iguales. Reflexiones sobre divisibilidad en Primaria.

¿Cómo dividir una tarta rectangular en 5 partes aproximadamente iguales y sin medir? Son numerosos los alumnos que comienzan 3º ciclo de Educación Primaria (de 10 años, aproximadamente) y no utilizan una estrategia eficaz para resolver este problema. Por lo general comienzan estimando una fracción rectangular que sea 1/5 del total y luego la repiten 5 veces. La estimación no suele ser buena: las partes son sensiblemente diferentes en tamaño, les sobra o les falta tarta, etc,…

Son una minoría los que utilizan alguna estrategia más eficaz, como considerar que el primer corte debe dividir la tarta en dos trozos diferentes (A y B, A>B) para luego dividir A en tres trozos aproximadamente iguales y B en dos trozos. Aunque varíe el tamaño de los trozos, según la mejor o peor estimación de cada niño/a, con esta estrategia se obtienen mejores resultados y, sobre todo, se aseguran de que no falte ni sobre tarta.

Esta dificultad es totalmente lógica pues se trata de dividir en partes iguales uno de los lados de la tarta (que es una magnitud continua) e involucra intuiciones espaciales, estimación dependiente de la experiencia y conocimiento de hechos y modelos numéricos. Incluso depende de la forma concreta en que se simula el problema (trazado, plegado, cortes...). Si la tarta es circular es problema resulta aún más complejo.

Si les planteamos el problema de manera inductiva (dividir la tarta en 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …) partes iguales, podremos comprobar que el fraccionamiento de la tarta en un número primo de partes ( 3, 5, 7,…) , a excepción del 2, es más difícil que en los casos en que el número de partes es compuesto. De igual manera,  los números impares se presentan como más dificultosos que los pares (en este caso una estrategia siempre válida es comenzar dividiendo por la mitad). La estrategia de la “mitad de”, de manera reiterada, les resulta fácil para fraccionar la tarta de manera eficaz en un número de partes que sea potencia de dos (2, 4, 8, 16, 32, …). Si el problema se resuelve mediante dobleces en un rectángulo de papel (tarta), los/as alumnos/as encuentran más estrategias de resolución que si lo resuelven mediante trazado de líneas (cortes) sobre un rectángulo (tarta). De cualquier manera, no obstante, la división de un rectángulo en partes iguales no les resulta fácil.



Este problema, aparentemente sencillo, que forma parte de la vida cotidiana, no suele ser tratado ni suficientemente ni de manera adecuada en la escuela, a pesar de que involucra lo esencial de la divisibilidad.

Los libros de texto nos muestran modelos de agrupamiento rectangular (filas y columnas) estáticos para introducir la multiplicación como suma reiterada, así como rectángulos y círculos ya fraccionados para introducir el concepto de fracción. Casi siempre se pide a los/as alumnos/as que expresen en forma de fracción la parte coloreada de la figura… Esto resulta, evidentemente, menos problemático que fraccionar la figura y está muchísimo más arraigado en el quehacer matemático escolar tradicional.

¿Cuándo deben comenzar a tratarse las nociones de divisibilidad en Primaria? De una manera más o menos sistemática, al profundizar en la estructura multiplicativa (multiplicación división) y aprovechando el dominio que se va obteniendo de las tablas de multiplicar, ya que si 4 x 5 = 20 entonces 20 = 4 x 5. Es decir,  la pregunta “¿Cuánto es 4 x 5?” (convergente, de respuesta única) tendría que tener su recíproca: “¿Cómo podemos obtener 20 multiplicando?” (divergente, más creativa, respuesta múltiple).  El dominio de la “reversibilidad” en la multiplicación no es obvio. Esto ocurre porque aunque se utilice el modelo rectangular (filas x columnas = total, cuadrícula,…) para introducir y facilitar la comprensión de la multiplicación, éste suele abandonarse prematuramente ya que la tradición escolar prioriza el conocimiento de hechos numéricos básicos desligados de intuiciones y realidades ( 5 x 4 = 20; 7 x 8 = 56; …) para aplicarlos, fundamentalmente, en cuentas de multiplicar y dividir.

Incluso cuando se utiliza con frecuencia el modelo rectangular de multiplicación no se refuerza suficientemente la “reversibilidad” aludida porque la mayoría de los docentes no son plenamente conscientes de que multiplicación y división son un mismo campo conceptual. Los/as alumnos/as no suelen ver con facilidad, en la figura siguiente, 1, 2, 4, 5, 10 y 20 partes iguales (algo que es fundamental para la resolución comprensiva de problemas de divisibilidad):

Al trabajarse la multiplicación al margen de la división y de manera fundamentalmente numérica, muchos/as alumnos/as que dominan el hecho numérico 4 x 5 = 20 tienen dificultades para encontrar, utilizando papel cuadriculado, un rectángulo formado 20 cuadraditos, o para dividir un rectángulo (tarta) en 20 partes iguales, o para dividir un rectángulo cuadriculado en un número menor de partes iguales…

La descomposición multiplicativa es más natural y sencilla de lo que parece. No sólo debe tratarse asociada a algunas estrategias de cálculo mental [24 x 15 = (2 x 12) x (3 x 5) = (12 x 3) x (2 x 5) = 36 x 10 = 360) , divisiones (96:30 = 48 : 15 = (3x16) : (3x5) = 16 : 5 = (15 + 1) : 5 = 15: 5 + 1/5 = 3 + 1/5 ) ] ya que está cargada de significado (24 = 3 x 8 = 8 x 3 Þ 24 caramelos pueden empaquetarse en 3 bolsas con 8 caramelos cada una y también en 8 bolsas con 3 caramelos cada una). No hay que esperar a la clásica “descomposición factorial” para practicarla en contextos de resolución de problemas.

Podríamos considerar la descomposición factorial (en factores primos) como una descomposición “máxima”. Pero a veces, bastará con que se sepa que 720 = 72 x 10 o que 720 = 8 x 9 x 2 x 5… que son descomposiciones “intermedias” del número 720. Incluso la descomposición factorial “máxima” no implica que el alumno deba saber distinguir entre números compuestos y primos; al contrario, es el mejor procedimiento para llegar, de una manera natural, a los números primos ( esos que ya no se pueden descomponer en factores diferentes):


En la tradición escolar se trata la “descomposición factorial” pero muy poco la "composición factorial" (a excepción de las tablas de multiplicar). Si damos la misma importancia a ambos aspectos (descomposición / composición factorial º análisis / síntesis), que se apoyan y refuerzan mutuamente, trataremos los fundamentos de la divisibilidad de una manera más sólida y productiva desde el punto de vista didáctico:


El cálculo de divisores de un número ( = factores de un número, no necesariamente factores primos) es un juego de composición de factores primos (tomados de dos en dos, de tres en tres,…). En vez de considerar divisores aislados de un número dado, resulta más potente el método de relacionarlos por parejas de factores que, al multiplicarlos,   compongan el número.


De suma importancia resulta el análisis argumentado de la descomposición factorial “máxima” de un número. De la observación de las regularidades se llega a descubrir los criterios de divisibilidad:



  • Todos los números que tienen un 2 en su descomposición son pares; si tienen un 3 son múltiplos de 3;  si tienen al menos un 2 y un 3 son múltiplos de 6; Para que sean múltiplos de 10 han de tener un 2 y un 5 en su descomposición; etc…
  • Si queremos obtener un número que sea múltiplo común de 2, 3, 4, 5 y 7 y 9 deberá contener en su descomposición, por lo pronto, un 2, un 3, un 5 y un 7 como factores primos. Como además ha de ser múltiplo de 4 ( = 2x2), el 2 debe aparecer dos veces en la descomposición. Como, además, ha de ser múltiplo de 9 (=3x3), el 3 ha de aparecer dos veces en la descomposición. El número buscado, por tanto sería N= 2x2x3x3x5x7= 4x5x7x9=140 x9 = 1400 – 140 = 1260. Acabamos de obtener el m.c.m (2,3,4,5,7 y 9). Además, y de manera previa al cálculo, se podría deducir que el número buscado debe acabar en cero, es múltiplo de 63, de 35, de 45, de 28, etc…

Para muchas personas, docentes incluidos, eso de que “el máximo común divisor son los factores comunes elevados al menor exponente o que el mínimo común múltiplo son los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente” es casi un galimatías sin sentido. A ello contribuye claramente que “máximo común divisor” signifique el “divisor común más grande”, o que “mínimo común múltiplo” signifique “el múltiplo común más pequeño”; es decir, que en ambas expresiones lo esencial se encuentre al final de las mismas y deban ser interpretadas en sentido inverso para comprenderlas mejor… También porque ese aprendizaje forma parte de un método inflexible que “obliga” (lo cual no es para nada necesario, y menos en Primaria) a expresar la descomposición factorial “máxima” en forma de producto de potencias.  Mucho más fácil y significativo es comprender que el máximo común divisor de dos números es el número formado por todos los factores que tienen en común y que el mínimo común múltiplo es el número más pequeño que contiene, a la vez, la descomposición factorial de ambos.

Sin embargo proliferan, cada vez más, los vídeos que enseñan "tradicionalmente" la obtención del mcd y del mcm. No estoy diciendo con esto que no se trate de procedimientos correctos pero sí que son excesivamente artificiosos, subsidiarios de la escritura y de procesos inflexibles en detrimento de la comprensión ( que es un proceso eminentemente mental) y de la flexibilidad. Un ejemplo de esto puede ser el siguiente vídeo ( visualizado 48.000 veces en Youtube):


O este otro, visualizado 145.000 veces en Youtube:


El mcm (8,12,16) debe ser un número múltiplo del mayor de ellos, es decir, de 16 (16, 32, 48, 64,...). Probamos con 16 y vemos que sí es múltiplo de 8, pero no de 12. No nos vale como múltiplo común. Algo similar ocurre con 32. No nos vale. Comprobamos ( haciendo uso de hechos numéricos elementales) que 48 sí es múltiplo común de 8, 12 y 16, y que, además, es el más pequeño de los múltiplos comunes. De otra manera. Buscamos un número N que sea múltiplo de 8, 12 y 16. Si N es un múltiplo de 8 deberá contener forzosamente los factores 2x2x2. Por lo tanto, y provisionalmente, N = 2 x 2 x 2 x... Para que N sea múltiplo de 12 (= 2 x 2 x 3) se le exige a N que tenga dos veces el 2 y una vez el 3 como factores. La primera de estas condiciones ya la cumple. Para que cumpla la segunda deberá ser N = 2 x 2 x 2 x 3 x.... Para que N sea, también, múltiplo de 16 (=2x2x2x2) deberá tener cuatro veces el factor 2. Por lo tanto, el número buscado será N = 2x2x2x2x3 = 16 x 3 = 48.

De análoga manera, el mcd (8,12 y 16) deberá ser un divisor del menor de estos números, es decir, un divisor de 8. Como Div(8) = {1,2,4,8} podemos probar con cada uno de ellos en forma decreciente. Así, 8 no es divisor de 12. En cambio 4 sí es divisor, también, de 12 y 16. Por tanto, mcd(8,12,16) = 4.

Un buen ejercicio de cálculo mental consiste en encontrar la combinación de factores primos que forman o generan un número dado:


En "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_II" puedes encontrar otras aplicaciones que tratan la composición y descomposición factorial:

2 comentarios :

  1. Hola Juan: no encuentro otra manera de localizarte que no sea escribiendo un comentario. Nos ha sorprendido tu mail no lo conocíamos y ya hemos enviado un "tuit" a noustros amigos recomendándolo. Hace mucho tiempo que estamos predicando el cálculo en columnea i ver que tu ya los tienes puesto en applets es fantástico. Felicidades por este bloc tan interesante.
    David Barba de "PuntMat"

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  2. Gracias, David.
    Es para mí un honor, y motivo de satisfacción, recibir un comentario tan positivo de un divulgador y formador en Matemáticas de reconocido prestigio algunos de cuyos artículos han sido un referente importante para mí, sobre todo en relación con el uso de materiales didácticos en Matemáticas (Ejemplo: "Cómo cambiar la opinión impartiendo un curso: materiales para la enseñanza de las matemáticas". Jordi Esteve, David Barba Uriach. UNO: Revista de didáctica de las matematicas,GRAÓ, ISSN 1133-9853, Nº. 7, 1996; ejemplar dedicado "Laboratorio de matemáticas", págs. 61-70,...)

    No conocía el blog PunMat. Ha sido un grato descubrimiento. Desde ahora aparece en la lista de mis favoritos. Seguro que aprenderé con él.

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Didactmaticprimaria agradece tus comentarios