domingo, 4 de marzo de 2012

Formatos interactivos para la práctica de un cálculo pensado, flexible y basado en números.


Aunque aún seamos claramente minoría, somos cada vez más los/as maestros/as que pretendemos que los contenidos propios de la aritmética escolar no se aborden de manera mecánica y rutinaria sino que sean soporte para hacer verdadera matemática; somos cada vez más los que priorizamos los significados y las estrategias, basadas en las propiedades de las operaciones, sobre la pura mecánica desprovista de significación; los que trabajamos con números y no con cifras; los que defendemos que los cálculos pueden realizarse de manera flexible; los que estamos convencidos de que los métodos de cálculo mental no deben ser en esencia diferentes de los métodos de cálculo escritos (ya que "se basan en los mismos principios, hechos y propiedades. Son los mismos métodos, es el uso mental o escrito que se hace de ellos lo que los denomina"- Bernardo Gómez Alfonso-),...

Dado que en nuestra sociedad, tecnológicamente avanzada, la mayor parte de los cálculos que realizan los ciudadanos son cálculos instrumentales (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,...) es lógico y necesario que pierda énfasis en la escuela la realización de "cuentas", de cálculos escritos mecánicos y rígidos (eso lo hacen las máquinas) y que, paralelamente, se favorezca profundizar en el significado numérico y operacional; en el análisis de las situaciones numéricas basado en los hechos del sistema de numeración, en el significado y en la propiedades de las cuatro operaciones; en la disponibilidad de métodos de cálculo que enfaticen el cálculo pensado, flexible y basado en números...



Centrándonos, aquí, exclusivamente en el campo conceptual de la multiplicación/división ( y a modo de continuación del post titulado "Razonamiento proporcional y multiplicación"), es necesario que los/as alumnos/as lleguen a dominar ( a nivel de su memoria inmediata) hechos numéricos básicos tales como:  10 x 8 = 80 y 5 x 8 = 40. Pero es más importante, y supone un salto cualitativo de nivel, y de enfoque didáctico, que sepan  aprovechar razonadamente estos resultados elementales memorizados para obtener otros resultados más complejos: 18 x 8 = 10 x 8 + 8 x 8; 15 x 8 = 10 x 8 + 5 x 8; 25 x 8 = 10 x 8 + 10 x 8 + 5 x 8; ...

Para favorecer un cálculo escolar pensado, flexible y basado en números, ya existen formatos interactivos que permiten realizar un mismo cálculo, con números, de maneras diferentes (ver "Así calculamos en mi cole" o, también, los formatos interactivos que se ofrecen en "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_II"):


Podríamos, además, realizar el cálculo anterior (25 x 18) utilizando otras estrategias:
  • Como 25 es 1/4 de 100, entonces 25 x 18  será 1/4 de 100 x 18 = 1/4 de 1800 = 1/2 de 900 = 450.
  • Factorizando: 25 x 18 = 5 x 5 x 2 x 3 x 3 = 5 x 2 x 5 x 3 x 3 = 10 x 15 x 3 = 150 x 3 = 450.
  • Doble y mitad: 25 x 18 = 50 x 9 = 100 x 4.5 = 450
  • Etc...
Los algoritmos escritos que ilustra la imagen anterior se corresponden con estrategias que podríamos utilizar para realizar el mismo cálculo mentalmente. Todas las estrategias eficaces de cálculo mental operan con números (y no con cifras).

El enfoque de la multiplicación en la escuela debería ser el de " la aventura de buscar multiplos" utilizando estrategias diferentes. ¿Acaso un/a alumno/a que domina la tabla de multiplicar del 6 (hasta 6 x 10 = 60)  no es capaz, también, de deducir la tabla del 60, o la del 600, sin haberla aprendido?


¿Cómo se podría abordar el cálculo 9252 : 18? Uno de los significados de la operación que se desea realizar es averiguar el número de veces que 18 está contenido en 9252.



No es nuevo el procedimiento de buscar múltiplos de 18 que se aproximen a 9252:

Una tabla análoga a ésta (obsérvese que la dificultad principal está en la primera columna) nos permite resolver el cálculo propuesto descomponiendo aditivamente el dividendo en varios múltiplos del divisor... 

(Ello equivale a repartir el dividendo "por partes", siendo cada parte un mútiplo de 18 - divisible entre 18-). Obsérvese que la tabla anterior puede utilizarse para resolver un gran número de divisiones diferentes...

Podría alegarse que no parece "económico" desplegar una tabla de múltiplos cada vez que tenemos que realizar una división. Estoy de acuerdo con eso, en parte. Piénsese que la tabla anterior puede corresponderse con un razonamiento proporcional exclusivamente mental que aprovecha los resultados elementales de la primera columna...

La siguiente aplicación es un formato interactivo para la realización de divisiones por descomposición del dividendo en varios múltiplos del divisor. Tiene tres niveles o grados de dificultad para divisiones exactas y otros tres niveles para divisiones enteras. Como se puede observar, de modo intencionado, no se contempla un espacio para obtener una tabla de múltiplos del divisor. Se pretende favorecer el cálculo mental.

¡Practica el cálculo de divisiones de esta forma! Comprueba si permite el cálculo pensado, flexible y basado en números que se defiende en este post. ¿Qué opinas al respecto?

2 comentarios :

  1. Gracias por la lección! Nunca es tarde para cambiar patrones. En esta búsqueda de "darle sentido" a loque aprendimos y enseñamos mecánicamente durante tantos años, se abren cada vez nuevas luces. Eso es! Démosle sentido a las operaciones y estaremos desarrollando esa parte tan difícilcomo es la interiorización de los conceptosa. este es un aporte muy valioso e importante. De nuevo GRACIAS.

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  2. Genial! Nos ofreces la posibilidad de comprender lo que hacemos, sin que nadie nos hubiese enseñado, de forma natural. Cuanto tiempo perdido machacando a los chicos en la mecánica, sobre todo a aquellos que tienen alguna dificultad, ya que luego no van a descubrir las reglas internas de la numeración y las operaciones.

    Muchas gracias

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