lunes, 29 de octubre de 2012

Propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas. Ciclo Medio. Educación Primaria


Desde el centro de recursos para enseñar y aprender matemáticas del Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Catalunya (cesire/creamat), se nos ofrece este documento que  recoge algunas propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas en el ciclo medio de la Educación Primaria.





Este documento, en lo referente a las operaciones básicas, se podría completar y matizar, con este otro de David Barba y Cecilia Calvo:




También es interesante contar con esta otra visión de las operaciones centrada en algoritmos Abiertos y Basados en Números (aunque no comparto algunas afirmaciones que se hacen en el documento tales como " ...algoritmos ABN = la senda para alcanzar competencia matemática" -porque excluye otras sendas más relevantes -; "Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"- cuando todos sabemos el papel determinante , entre otros, del pensamiento,  la afectividad, la metacognición y las habilidades lingüísticas-  y, sobre todo, "El cálculo basado en algoritmos ABN aumenta notablemente la capacidad de resolución de problemas" - porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos, es una de las fases finales del proceso y no precisamente la más relevante, a no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo .  Ver artículo anterior a éste en este mismo blog-) :





Comparto, en lo esencial, los enfoques y propuestas recogidos en estos documentos en lo relativo al tratamiento del bloque aritmético (a mi juicio los otros bloques no están suficientemente bien tratados en el primer documento) Pero, dado que no aluden a recursos educativos (impresos, manipulables físicos o virtuales, ...) que pudieran utilizarse  para este fin coherentemente con estos enfoques, me voy a permitir enriquecerlos  sugiriendo aplicaciones (contenidos educativos multimedia) que se ofrecen en este blog, para cada una de las propuestas realizadas. Me voy a limitar al apartado OPERACIONES con el fin de que este post no sea demasiado extenso.





I.-) LAS OPERACIONES:
En relación con la resta se recomienda el modelo de resta sobre la recta numérica ( como el mostrado más adelante bajo la denominación "rana saltarina") y  que se dedique más atención al uso de estrategias relacionadas con la "resta ascendente" (método que se implementa gráfica e interactivamente en "rana saltarina") , la "resta por detracción", y "resta por reajuste basada en números redondos" (restar 18 = restar 20 y sumar  2)  que a la mecanización de la misma (que sería trabajar la resta fundamentalmente con el algoritmo tradicional). 

Personalmente, yo añadiría la "estrategia fundamental de la resta" (podemos cambiar el minuendo y sustraendo de la resta dada por otros, añadiendo o quitando a ambos la misma cantidad, para obtener una nueva resta equivalente más sencilla).
Para incidir en este enfoque sugiero las siguientes aplicaciones:

Estrategias para la suma y resta.Aplicación con varias escenas que permiten manipular elementos para comprender las estrategias fundamentales de la suma (la cantidad total de pastelillos no cambia cuando se pasan pastelillos de un plato a otro) y de la resta (La diferencia de pastelillos entre dos platos no varía cuando se añade o quita el mismo número de pastelillos a cada plato) que luego se utilizarán como base en el cálculo algorítmico (flexible y basado en números) de sumas y restas...

Resta por ESCALERA ASCENDENTE. Resolución de problemas de resta mediante "escalera ascendente". Con cada nuevo problema hay que comprar un producto. El dinero de que disponen el niño y la niña para ello es insuficiente. Se trata de llevar hasta el panel de éstos la cantidad de dinero que les falta para poder adquirir el producto. De manera paralela y automática se va completando el algoritmo numérico (flexible y basado en números) que se corresponde con las acciones realizadas con el dinero.  PDI: sí.


Resta por DETRACCIÓN. Permite resolver problemas sencillos de restas implementadas con billetes y monedas del euro. En cada problema, un niño ha de dar a una niña la cantidad de dinero que ésta le pide. Se van arrastrando monedas y billetes de la zona del niño a la zona vacía de la niña hasta que ésta junta la cantidad pedida. De manera paralela y automática se va completando el algoritmo numérico (flexible y basado en números) que se corresponde con las acciones realizadas con el dinero. Cuatro niveles de dificultad.  PDI: sí.

 
Formato interactivo para el cálculo flexible de diferencias basándose en el cálculo pensado con números. Configurable en cuatro niveles de dificultad progresiva. Guarda restas realizadas. Lleva control de intentos y aciertos. PDI: sí.
Formato interactivo para el cálculo flexible de diferencias basándose en el cálculo pensado con números. Configurable en cinco niveles de dificultad progresiva. Guarda restas realizadas. Lleva control de intentos y aciertos. PDI: sí.



Rana saltarinaCálculo mental de restas, con apoyo gráfico sobre una recta numérica interactiva, por el procedimiento de escalera ascendente. Cada resta se puede realizar con  dos o tres "saltos de rana". Numerosos niveles de dificultad. Lleva control de intentos y aciertos. PDI: sí.




En relación con la suma no se hacen propuestas, si bien se recomienda que antes de pasar a la multiplicación los docentes nos aseguremos de que los/as alumnos/as suman y restan  estratégicamente "pasando por la decena" [35 + 7 = 35 + (5 + 2) = (35 + 5) + 2 = 40 + 2 = 42].

Las siguientes aplicaciones nos permiten abordar la suma desde su estrategia fundamental ( podemos detraer cantidades de un sumando y añadirlas al otro sin que varíe la suma total). La práctica de la misma utiliza un algoritmo extendido:



Permite resolver sumas implementadas con billetes y monedas del euro. Se van juntando dos cantidades iniciales de dinero ( que aparecen en dos paneles diferentes) en uno de los paneles llevando dinero desde uno de ellos hasta el otro, por partes. De manera paralela y automática se va completando el algoritmo numérico (flexible y basado en números) que se corresponde con las acciones realizadas con el dinero. Cuatro niveles de dificultad.  PDI: sí.



Formato interactivo para el cálculo flexible de sumas basándose en el cálculo pensado con números. Configurable en cinco niveles de dificultad progresiva. Guarda sumas realizadas. PDI: sí.




Con frecuencia, no se le da suficientemente importancia a las "tablas de sumar" como conjunto de hechos numéricos o resultados básicos para el cálculo mental. Los/as alumnos/as tienen que superar en algún momento el conteo ascendente, de uno en uno, para realizar sumas básicas. Las tablas de sumar también ponen de manifiesto regularidades que pueden ser utilizadas como estrategias en la enseñanza-aprendizaje de la suma: Así, por ejemplo, los "dobles" ( 5+5, 6+6,...) suelen aprenderse con más facilidad que los dobles ± 1 ( Como 6 + 6 = 12 Þ  6 + 7 = 12 + 1; Como 7 + 7 = 14 Þ  6 + 7 = 14 - 1)  , o que los dobles ± 2 ( 5 + 7 = 6 + 6; 7 + 9 = 8 + 8...); sumar 9 = sumar 10 y restar 1; restar 9 = restar 10 y sumar 1; etc


Modos comprender y practicar.
Propone la realización de sumas de dificultad configurable (0-10 + 0-10 hasta 80-90 + 80-90) aprovechando las regularidades que se ponen de manifiesto en una tabla pitagorica. Se puede completar, para cada opción de configuración, toda la tabla pues las casillas incógnita son elegidas aleatoriamente pero sin repetición. Lleva control de aciertos. PDI: sí.


Considero fundamental trabajar suficientemente determinadas series aritméticas básicas desde el inicio de la educación Primaria:

Primera escena: permite la presentación_visualización, término a término, de series aritméticas progresivas (crecientes). Se puede configurar fácilmente el intervalo de tiempo entre la aparición de dos términos consecutivos. También permite el completado asistido de series con correccción sonora instantánea.
Segunda escena: generalización. Permite trabajar con cualquier serie aritmética, tanto progresiva como regresivamente. Lleva control de aciertos. PDI: sí.

Si anteriormente se recomendaba  el modelo de resta sobre la recta numérica, podemos comprobar, en la siguiente aplicación, que una recta numérica interactiva y configurable resulta un modelo excelente para relacionar las cuatro operaciones básicas:


Diferentes escenas y retos diversos con tres niveles o grados de dificultad. Contar de tantos en tantos, práctica y comprensión se sumas y restas con apoyo gráfico en una recta numérica interactiva con intervalos (series numéricas) configurables. Esta aplicación da un juego enorme para introducir, a nivel básico las cuatro operaciones . Lleva control de intentos y aciertos. PDI: sí.



En relación con la multiplicación se recomienda la utilización de modelos gráficos para facilitar la comprensión de los significados de la misma así como su relación o conexión  con la división ( operación inversa que es una reinterpretación de la multiplicación). Se recomienda que multiplicación y división se presenten en contextos significativos y en un ambiente de resolución de problemas.

Considero especialmente recomendable abordar la construcción de tablas de multiplicar, de manera previa a su memorización, incidiendo en el desarrollo del razonamiento numérico proporcional (esencia del bloque de numeración en 3º ciclo de Primaria)


Razonamiento proporcional y construcción de tablas de multiplicar.
Las tablas de multiplicar - al menos las del 1 al 10- deben pasar a formar parte de la memoria inmediata de nuestros/as alumnos/as de Primaria, es decir, deben memorizarlas. Constituyen un conjunto de hechos numéricos básicos sobre los que se sustenta la generación de otros cálculos más complejos...Es obvio que la repetición de estos hechos numéricos básicos favorece enormemente su memorización...
Pero esto no significa, ni mucho menos, que el aprendizaje de las tablas deba iniciarse de manera memorística. Y menos aún que formen un contenido con sentido en sí mismo, sin relación con otros, simplemente destinado a la práctica de multiplicaciones tradicionales...
La CONSTRUCCIÓN DE TABLAS MULTIPLICATIVAS  es un contenido más amplio y relevante. Todos/as los/as alumnos/as tienen cierto grado de <razonamiento proporcional> que hay que desarrollar. La construcción de tablas multiplicativas - obtención de múltiplos al fin y al cabo- viene como anillo al dedo para este propósito. Además la búsqueda del razonamiento es ineludible en matemáticas... PDI: sí.

En relación con los algoritmos de estas operaciones, se recomienda que la automatización debe basarse en la comprensión y no únicamente en la repetición mecánica, que se valore lo razonable del resultado obtenido, que el algoritmo estándar es el final de un camino que comienza con formas menos sintéticas (algoritmos extendidos) y que es una forma más de encontrar resultados, pero no la única ni la más adecuada en todas las situaciones.

Para ello, propongo, entre otras las siguientes aplicaciones TIC:



En modo "manipulación libre", permite inventar multiplicaciones más o menos complejas ( según el grado de competencia numérica de los/as alumnos/as) y comprobarlas. Tiene, además, tres niveles de dificultad en los que hay que solucionar el reto propuesto, de manera aleatoria, por el ordenador. En cada caso, las multiplicaciones se resuelven arrastrando monedas y billetes hasta uno o dos paneles y completando los campos numéricos correspondientes. Lleva control de aciertos. PDI: sí.



Cinco opciones de configuración (grados o niveles de dificultad): dos en modo "comprender" y tres en modo "practicar". Ilustración gráfica con monedas y billetes del euro (y práctica) de la estrategia fundamental para el cálculo multiplicativo (multiplicación por partes mediante la descomposición aditiva de alguno de los factores y la aplicación de la propiedad distributiva del producto...). Lleva control de aciertos. PDI: sí.



Modo "comprender" y modo "practicar". Ilustración gráfica, con modelo rectangular de puntos de dos colores, y práctica de la estrategia fundamental para el cálculo multiplicativo (multiplicación por partes mediante la descomposición aditiva del largo del rectángulo de puntos y la aplicación de la propiedad distributiva del producto...). Lleva control de aciertos. PDI: sí.



Formatos interactivos (con ejemplos de uso) para la práctica del cálculo flexible de multiplicaciones basadas en un cálculo pensado con números. Varias opciones de configuración para  multiplicando y multiplicador. Permite guardar las multiplicaciones realizadas. Ayuda interactiva (si se desea) y pizarra para anotaciones auxiliares intermedias ( si se desea). PDI: sí.



Iniciación a la división como reparto. Permite repartir (simulación totalmente realista) cantidades de dinero elegidas aleatoriamente por el ordenador (tantas como se desee) entre 2, 3, 4 ó 5. Permite cambiar dinero para poder hacer el reparto. Paralelamente a las acciones realizadas por el usuario sobre billetes y monedas, se va completando de manera automática el algoritmo flexible, y basado en números, que ilustra a la perfección los pasos del reparto que se está realizando...PDI: sí.



Iniciación a la división como reparto. Permite repartir (simulación totalmente realista) cantidades de dinero elegidas aleatoriamente por el ordenador (tantas como se desee) entre 2, 3, 4 ó 5. Permite cambiar dinero para poder hacer el reparto. Paralelamente a las acciones realizadas por el usuario sobre billetes y monedas, se va completando de manera automática el algoritmo flexible, y basado en números, que ilustra a la perfección los pasos del reparto que se está realizando...PDI: sí.



Formato interactivo (con ejemplos de uso) para la práctica del cálculo flexible de divisiones basadas en un cálculo pensado con números. Varias opciones de configuración para  dividendo y divisor. Divisiones propuestas tanto aleatoriamente como de forma personalizada. Permite guardar las divisiones realizadas. Ayuda interactiva (si se desea) y pizarra para anotaciones auxiliares intermedias ( si se desea). PDI: sí.



Formato interactivo para la práctica del cálculo flexible de divisiones  (exactas y enteras y basadas en un cálculo pensado con números) por descomposición del dividendo en varios múltiplos del divisor (excepto uno, a lo sumo, en divisiones enteras). Tres niveles o grados de dificultad para divisiones exactas y otros tres para divisiones enteras. Divisiones propuestas aleatoriamente. PDI: sí.



2 comentarios :

  1. Excelente este trabajo que ayuda a compreder las dificultades de mis alumnos con estos contenidos como tú dices básicos pero que vamos viendo lo memorísticamente que suelen ser aprendidos.

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    1. Gracias, Mariángeles, por tu comentario. Buen trabajo el realizado en tu blog CHAMARIO. Desconocía que CHAMO fuese la forma cariñosa de llamar a los niños en Venezuela.

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Didactmaticprimaria agradece tus comentarios