sábado, 3 de noviembre de 2012

El círculo, un polígono regular muy especial. Áreas de figuras básicas. Relaciones.

La nueva aplicación que se ofrece es el resultado de la adaptación y mejora de algunas aplicaciones que había realizado hace años y que, al contrario que ésta, no estaban adaptadas para su utilización con PDI.

Desplegando un polígono regular para convertirlo en un rectángulo de áreas equivalente
Desplegando un polígono regular
Se trata de una aplicación muy completa que ilustra, de manera dinámica, cómo se obtienen las áreas de figuras básicas (triángulo rectángulo, otros triángulos, paralelogramos, cometas, trapecios, polígonos regulares y círculo) a partir del área del rectángulo. También propone el cálculo estratégico de áreas de familias de figuras obtenidas en mallas cuadradas y en mallas triangulares equiláteras así como el área de las figuras básicas antes mencionadas.

En ella se le da un tratamiento especialmente interactivo al área de un círculo a partir del área de un polígono regular. Y al área de ambos a partir de la del rectángulo (también a partir de las áreas de paralelogramos y romboides).

En Primaria suele presentarse el círculo como un no polígono ( porque no tiene lados rectos). Esto no es sino consecuencia de una visión tradicional y estática de la geometría. Desde una perspectiva dinámica, como la que ofrece esta aplicación, es fácil ver y comprobar cómo un polígono regular de 30 ó 40 lados, inscrito en un círculo, apenas puede diferenciarse del mismo. ¿Y si aumentamos el número de lados a 200 ó 1000? ¿Qué tendencia muestra su apotema?¿Y la longitud de sus lados? No resulta chocante, pues, aceptar que un círculo es un polígono regular de infinitos lados rectos infinitamente pequeños. En el caso límite (al aumentar progresivamente el número de lados) la apotema se confunde con el radio del círculo, la longitud del lado del polígono regular tiende a cero y el perímetro tiende, sin sobrepasarlo, al valor de la longitud de la circunferencia. 

Estos casos límite (como ocurre cuando se consideran los triángulos casos límite de cometas)  pueden ilustrarse de manera óptima gracias a las aplicaciones que, de una manera u otra, permiten abordar geometría dinámica.





En el siguiente vídeo se nos ofrece una manera curiosa y original de acercarse al área de un círculo. Aunque se realice con elementos tridimensionales (esferas idénticas), no es difícil imaginar la correspondiente demostración con círculos idénticos tan pequeños como se desee (con puntos). La ilustración es muy sugerente y acertada:


2 comentarios :

  1. Antes que nada me gustaría reconocer la tarea que hacéis en el blog, el cual sigo y en el que muchas veces encuentro cosas muy interesantes.

    En esta ocasión no estoy de acuerdo con lo que se expone en esa entrada. El método de exhausción, por ejemplo para el cálculo de áreas, es algo bastante antiguo, ya Euclides lo recogía en sus Elementos. En términos modernos eso lo podemos interpretar como un paso al límite. Es por esto que tengo serias pegas en aceptar que un círculo sea un polígono. Aceptar ese argumento implicaría que infinito es un número natural o que el límite de cualquier sucesión de números racionales es un número racional.

    Por otra parte, tampoco encuentro muy acertado intentar dar validez a la afirmación utilizando argumentos de tipo perceptivo (si hago un polígono de muchísimos lados no serás capaz de distinguirlo de una circunferencia). Tanto el trabajo perceptivo como el dinámico son buenas estrategias en la resolución de problemas (incluidos los de demostrar), pero debemos ser conscientes de sus limitaciones, especialmente cuando se trata de intentar validar las conjeturas que extraemos de dicho trabajo.

    Saludos.
    Félix.

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    1. Gracias, Félix, por tu comentario.
      Efectivamente, mis comentarios y afirmaciones no tienen el rigor científico que requiere una demostración matemática. Yo mismo me he sentido como en “la cuerda floja” al afirmar que “un círculo es un polígono regular de infinitos lados infinitamente pequeños”. Sé el peligro, y las paradojas, que entraña manejar en matemáticas el infinito. No obstante, esto es lo que percibimos intuitivamente y lo que creo que basta en el ámbito de divulgación del artículo (enfocado a su tratamiento escolar). Utilizo argumentos perceptivos y numéricos, bastante intuitivos, que creo que nos permiten aceptar como verdad “práctica” que el círculo es un polígono regular. Aceptamos que el límite del perímetro de un polígono regular, cuando el número de lados tiende a infinito, es justamente la longitud de la circunferencia. Análogamente, aceptamos que el límite de la apotema es el radio. Numéricamente se evidencia esa tendencia…

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