martes, 11 de diciembre de 2012

El currículo de matemáticas no es sólo numeración. La numeración no es sólo cálculo.

De nuevo me veo llevado a hacer un análisis crítico de ciertos aspectos en torno al “método ABN” y al correcto enfoque del cálculo en la escuela en relación con las características del cálculo en nuestra sociedad. Soy consciente de que hacer afirmaciones rotundas al respecto nos lleva a un terreno no exento de peligros.
algoritmo ABN
Fuente: "algoritmo abn"

El blog “Algoritmos ABN” es uno de los sitios de referencia para la didáctica de la Matemática en Primaria que relaciono en la parte derecha de mi blog. Y es que estoy totalmente de acuerdo con el enfoque flexible del cálculo que Jaime Martínez Montero ha etiquetado con la marca “ algoritmo abn”.  De hecho, con anterioridad a la aparición de esta marca, una minoría de maestros/as ya veníamos defendiendo y practicando un cálculo flexible alternativo al tradicional, sobre todo desde que a finales de los 90 se multiplicaran las publicaciones que abordaban el tratamiento de algoritmos no tradicionales, de las operaciones básicas, en la escuela.

Por mi parte, vengo desarrollando con mis alumnos un cálculo pensado, flexible y basado en números y he desarrollado múltiples formatos digitales interactivos para divulgar y favorecer la práctica del cálculo (tanto descontextualizada como contextualizada)  bajo este enfoque ("Así calculamos en mi cole") aunque no bajo la etiqueta "abn".

Este enfoque flexible apuesta por el desarrollo de algoritmos no tradicionales de las operaciones aritméticas para evitar las rigideces que presentan los tradicionales. Confiere al cálculo un carácter subjetivo y creativo (frente a "Esta división se hace así", "Yo hago esta división así"). Hace del cálculo una tarea pensada, matemáticamente relevante (algo que no se puede asegurar, sin más, en enfoques más tradicionales) dándole el rango de habilidad cognitiva de orden superior; y se adapta mejor a la diversidad del alumnado presente en las aulas. Y, sobre todo, es más coherente e integrador que el cálculo tradicional ya que aprovecha la natural descomposición/composición numérica de los números y las mismas estrategias y propiedades fundamentales de las operaciones se utilizan tanto para el cálculo que se apoya en lápiz y papel como para el que se realiza  “de cabeza” (que ha pasado a ser, sin duda, el verdaderamente importante)
"Hay otra razón que aboga por la inclusión del cálculo pensado en las clases, y es que la mayoría de las personas que son consideradas hábiles para calcular rara vez hacen uso de los algoritmos usuales, sino que suelen recurrir a manipular los números para facilitarse la tarea."
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67.
"La tragedia del algoritmo estándar en la escuela, ha llegado de la mano de las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras.
Lo que para todo el mundo era un elemento crucial de cualquier currículo escolar hace veinte años, ha empezado a ser considerado como algo que va perdiendo importancia al mismo ritmo que aumenta el interés por el cálculo mental y estimativo." 
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 113.  

El cálculo que realizan la mayoría de las personas en nuestra sociedad actual es un cálculo instrumental (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,…). ¿Quién hace cálculos fuera de la escuela con ayuda de lápiz y papel? ¿Significa esto que no tiene ya sentido desarrollar razonables competencias de cálculo en nuestros/as alumnos/as?

No, evidentemente no, puesto que toda capacidad humana debe ser desarrollada. Significa plantearse la naturaleza y tipología del cálculo que tiene sentido desarrollar en la escuela, la magnitud de los números con los que se debe operar y las formas más razonables de abordarlos. Significa un esfuerzo por contextualizar el cálculo así como por el desarrollo de estrategias personales para calcular…Significa priorizar el cálculo aproximado y la estimación. Significa entender bien, de manera integrada y proporcionada, el currículo dematemáticas. 

Tradicionalmente el peso curricular recaía de manera aplastante sobre la numeración, más en concreto sobre los algoritmos de las operaciones básicas.  Se trataba de un currículo de matemáticas ciertamente empobrecido. Este es uno de los aspectos fundamentales que hay que superar. Actualmente tiene menos sentido que nunca que el cálculo (del tipo que sea) acapare la mayor parte del tiempo destinado al desarrollo del currículo de matemáticas en la escuela, sobre todo si se trata de un cálculo predominantemente descontextualizado. No faltan los que abogan por destronar el cálculo de la cima del quehacer matemático en el que se encuentra. Hay que asumir que el currículo de matemáticas de Primaria aborda las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Y que el eje vertebrador de estos bloques es la resolución de problemas. 


"Jaime Martínez, inspector de educación, explorador de algoritmos, ha soñado un mundo sin cuentas. Ha ido más allá. Lo está poniendo en práctica. 225 niños de Primaria de la provincia, entre Primero y Quinto, aprenden matemáticas sin hacer cuentas..."
Cuando uno visita el blog “Algoritmos ABN (que persigue entre sus objetivos explícitos erradicar las viejas cuentas y favorecer una matemática más divertida), observa que casi la totalidad de la ingente cantidad de imágenes y vídeos que en él se incluyen  se centran en cálculos numéricos. Aparentemente se trata de "nuevas cuentas" que se articulan en forma de tablas de números. Sin embargo hay una diferencia notable con las cuentas tradicionales. Desde que se inicia el proceso de resolución, cada fila que se va escribiendo es una igualdad equivalente a la anterior, de manera que no hay que esperar a que el proceso haya acabado para haber transformado de manera coherente el cálculo inicial propuesto: 236 - 189 = 136 - 89 = 106 - 59 = 100 - 53 = 50 - 3 = 47 (para una resta "por comparación"), o 236 - 189 = 11 + 36 ( para una resta "por escalera ascendente"),...

Evidentemente el hecho de que se recurra continuamente a la pizarra o al papel de una ficha o cuaderno no significa que no se trate de un cálculo “pensado”. Otro aspecto a tener en cuenta es que se utilizan algoritmos extendidos, más extensos, que van dando cuenta de cada uno de los pasos realizados. Esto no debe identificarse con una mayor dificultad que los tradicionales (que son “más económicos”) dado que a medida que un alumno progresa en el desarrollo de competencia en cálculo se reduce notablemente el número de pasos que utiliza para resolver un cálculo determinado. No me cabe duda del buen enfoque que se hace en ese sentido, priorizando claramente la comprensión sobre la mecanización y favoreciendo el afloramiento de modos personales de realizar los cálculos.
  
Pero, con sinceridad, siento que los/as maestros/as debemos ser muy torpes cuando parece ser que necesitamos que se nos ilustre hasta la saciedad el mismo método de cálculo para cada uno de los diferentes cálculos posibles (que son, evidentemente, infinitos). En realidad, casi todo se reduce a que tanto la suma, resta, multiplicación y división se pueden realizar “por partes”,  de manera flexible o personalizada ( no necesariamente todos/as los/as alumnos/as en los mismos pasos ni con los mismos números) y basándose en la descomposición numérica y las propiedades fundamentales de las operaciones básicas. Es por ello que el blog aludido transmite visualmente la idea de que el quehacer fundamental en  matemáticas de Primaria es el cálculo. No vemos en el blog ninguna referencia al mundo del espacio y las formas ( a excepción del método para resolver raíces cuadradas), ni al de la incertidumbre …

Podríamos extendernos tanto como quisiéramos en poner de manifiesto (como se hizo desde el origen de las matemáticas) las relaciones entre números y formas, cómo se apoyan y refuerzan mutuamente y cómo fruto de esa simbiosis se ponen de manifiesto con mayor fuerza patrones  o regularidades numérico-geométricas… No tendría nada que objetar si se identifica el “método ABN” con un método de cálculo, como así se presenta habitualmente. Pero es que desde el blog aludido y desde otros, así como desde diferentes medios de comunicación y documentos se hacen afirmaciones (a mi juicio poco rigurosas) más generales que apuntan hacia una inconveniente metamorfosis ( CÁLCULO = ALGORITMOS ABN = "LA SENDA PARA  ALCANZAR COMPETENCIA MATEMÁTICA"). ¿Debe interpretarse como la única senda? ¿Debe interpretarse que la competencia en cálculo es la única o más importante de las competencias matemáticas? Espero que no, porque ello supondría reducir el currículo de matemáticas a simple cálculo, volviendo a incurrir en errores parecidos a los que se pretendía superar… Esto me parece especialmente peligroso en estos tiempos tan tecnológicos en los que curiosamente se exalta más que nunca el desarrollo de la capacidad de cálculo (a veces de manera poco razonable, como si se pretendiera crear "calculadoras humanas") identificándolo con la excelencia en matemáticas.

Me voy a limitar aquí al análisis de algunas afirmaciones relacionadas con la resolución de problemas y con la descripción de las características del "cálculo abn": 
Con la nueva didáctica de las matemáticas que propugna Jaime Martínez se llega a los resultados correspondientes por desagregación o descomposición de las cantidades a operar... (Jaime.M.M)
¿Nueva didáctica de las matemáticas o no tan nueva didáctica del cálculo? 
"Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"(Jaime.M.M)
Uno de los grandes "fallos" en la enseñanza tradicional de la aritmética es que se identifica operación con el algoritmo (cuenta) que la resuelve:
"Nuestro aprendizaje de cada una de las operaciones está tan ligado a su algoritmo que se suele confundir operación con el algoritmo usual que la resuelve" Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67. 
No volvamos a cometer el mismo error (operación ¹ algoritmo de la operación)
Además, desde hace mucho tiempo los maestros nos venimos  quejando de que los alumnos no sepan con qué operación (u operaciones) se resuelve un determinado problema ("¿Es de sumar o de restar?"), en mucha mayor medida que sobre la propia realización de los cálculos. 
"Los algoritmos ABN aumentan notablemente la capacidad de resolución  de problemas" (Jaime.M.M)
¿Cómo? ¿De qué manera? ¿De qué problemas? Porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos - que no son los únicos-, es una de las fases finales del proceso de resolución, y no precisamente la más relevante. A no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo. Esto sólo podría aproximarse a la verdad en los problemas aritméticos más elementales, los de una sola operación, en caso de que se presenten a los alumnos de forma que el "espacio de búsqueda" sea prácticamente inexistente. (Ver "Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)") 

"Un grupo de investigadores europeos ha visitado recientemente el Colegio San Rafael (Cádiz) para conocer el funcionamiento de este método de cálculo ideado como sabemos por Jaime Martínez, inspector de educación de la Delegación de Cádiz.

Procedentes de distintos países como Austria, Holanda, Alemania, etc. dichos investigadores pudieron comprobar de primera mano los resultados de este revolucionario método que demuestra que los alumnos de primaria mejoran no sólo su nivel de cálculo y su capacidad de resolución de problemas sino también su motivación en el aprendizaje de las matemáticas." [...]

[Fuente: "Las matemáticas de Cádiz". Diario de Cádiz (versión impresa). Fecha: 21/09/2012]

Algoritmos y resolución de problemas
Fuente: "algoritmo abn"
En el blog “Algoritmos ABN”, se hace bastante alusión teórica a la relación entre las operaciones y las tipologías de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) que resuelven. Sin embargo este "revolucionario método ABN” no explicita ningún método concreto de resolución de estos problemas. Encontramos casi exclusivamente un modelo de resolución de PAEV, el modelo más tradicional. Con frecuencia vemos imágenes en las que el/la maestro/a ha escrito el enunciado de un PAEV en la pizarra y, a continuación, sin más, el algoritmo extendido con el que se resuelve. Es cierto que se asocia con mucha frecuencia un cálculo concreto con un determinado problema como forma de contextualizar el cálculo, y que incluso se hace una análisis comprensivo del enunciado. Lo peligroso es  asociar el algoritmo con la resolución de un PAEV ( incluso para los problemas más elementales), como se recoge en este texto del propio Jaime M. M. (hablando de la "doble resta" y de la "sumirresta"):

"[...] Aparte del nuevo campo de posibilidades de cálculo que abre, la importancia fundamental de estas operaciones radica en que simplifica enormemente el mundo de los problemas porque convierte, de golpe y sin transición, muchos de ellos de dos operaciones que son difíciles para los niños (todos los de dos restas y todos los de una suma y una resta) en problemas de una operación, simplificando enormemente la complejidad de su comprensión y su realización. Hay siete problemas distintos de sumar y, como vimos hace poco, trece diferentes de restar. Quiere decir que, combinándolos simplemente, nos salen 91 problemas distintos de sumar y restar (13 x 7), y 169 de dos restas (13 x 13). Es decir, que con la doble resta y la sumirresta cambiamos 260 problemas diferentes de dos operaciones en problemas de una operación. ¡Casi nada!


Los problemas de dos operaciones son especialmente difíciles para los niños. No es complicado averiguar por qué y hay una amplia literatura científica que da cuenta de ello. Para nuestro propósito, baste pensar que en un problema de una operación aparecen los datos y la pregunta. En uno de dos operaciones aparecen los datos de la primera operación, pero no la pregunta, mientras que en la segunda operación sí aparece la pregunta, pero solo uno de los datos. Véase el caso siguiente: “Un bosque con 2145 árboles se incendia y arden 368. Después plantan 325 árboles más. ¿Cuántos árboles hay ahora?” Es evidente que la primera operación (2145-368) no tiene pregunta, y que la segunda (1777+325) no tiene el dato de los 1777 árboles.


Por lo anterior, la sumirresta facilita mucho todo el proceso. Es fácil pasar directamente del texto al formato del algoritmo, y luego permite múltiples posibilidades de desarrollar los cálculos de uno u otra manera. La resolución clásica obliga a realizar primero una operación y luego otra, mientras que aquí se pueden abordar los cálculos sucesiva o simultáneamente." 

Aquí se hacen afirmaciones explícitas e implícitas a mi juicio poco rigurosas:
  • Hay operaciones que simplifican enormemente la complejidad de la comprensión de un determinado problema, cuando comprender un problema implica previamente descubrir las relaciones entre las magnitudes y las operaciones que transforman unas en otras...Ahí radica precisamente la esencia del acto creativo que supone la resolución de un problema y ahí radica, por tanto, su dificultad. De nuevo se identifica operación con algoritmo de la operación, que es un útil para efectuar ésta, y parece identificarse la realización del algoritmo con la esencia de la resolución de un problema. No comparto tal idea.
  • Parece que la tipificación de problemas es pura aritmética combinatoria. Aunque estoy seguro de que esa no es la visión de Jaime M.M. al respecto.
  • Parece que el proceso de resolución de problemas aritméticos se limita al paso del enunciado al formato del algoritmo, es decir, del texto al cálculo. Esta peligrosa asociación más que superada en la amplia literatura científica a la que el propio Jaime M. M. alude, supone un  reduccionismo del aspecto más troncal y vertebrador del currículo de matemáticas: la resolución de problemas (RP). Si bien esto se puede hacer fácilmente, aunque no sea lo más conveniente en la R.P, para PAEV de nivel 1(una sola operación), me llama poderosamente la atención lo artificioso que resulta justificar la doble resta y la sumirresta en relación con la resolución de PAEV de nivel 2. Sinceramente, parece un invento para encajar, con calzador, la resolución de estos problemas con un único algoritmo... No creo que sea éste el camino más conveniente en la búsqueda de comprensión. Me parece una senda poco conveniente en la didáctica de RP, máxime viniendo de una persona que apuesta por algoritmos extendidos, aunque sean menos económicos que los tradicionales, para  favorecer una mayor comprensión de los cálculos realizados y el desarrollo de estrategias de cálculo... 
Para terminar: 
Desde una perspectiva holística de las matemáticas, cualquier parte (bloque de contenidos) debe gozar en buena medida de los atributos de la totalidad (currículo de matemáticas) pero no sería riguroso  identificar la parte con el todo ni  el todo con la parte.






10 comentarios :

  1. Arriesgado artículo, pero desde mi punto de vista con mucha razón y muy bien argumentado. Sin conocer a fondo los Algoritmos ABN y valorando el esfuerzo por hacer un cálculo más reflexivo y basado en la descomposición de números, entiendo que la comprensión de los problemas va más allá de la resolución algorítmica, como a menudo nos demuestran nuestros alumnos, tanto los que son más habilidosos matemáticamente como lo que lo son menos.

    Agradezco estas reflexiones

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Gracias, Mariángeles, por tu exquisito comentario.

      Eliminar
  2. Muy interesante reflexión. La verdad es que había mirado el método con un poco de recelo por como de "maravilloso" y "nuevo" se vende, cuando se parece mucho a como había visto trabajar a mi madre con sus alumnos de infantil hace ya años. No le quito mérito a la formalización y difusión del método, que son importantes, pero creo que a veces un exceso de autoconfianza (no se si es la palabra más adecuada) provoca cierto rechazo.
    Me encanta tu blog y lo seguiré recomendando a mis futuros maestros de primaria.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Gracias, Clara, por tu interesante comentario y por la opinión que tienes de este blog

      Eliminar
  3. No voy a entrar en discusiones sobre "métodos" o en el análisis de la propuesta ABN, sino en un "peligro general" que puede ocurrir. El peligro está en que el ABN, o la utilización de la recta numérica, o incluso los trabajos de Antonio Martin, o incluso los problemas PISA, pueden ser propuestas excelentes de entrada (puede que una vez analizadas con rigor algunas no se sustenten como deberian, no entro en eso). Lo malo es que el problema radica en el hecho que una buena idea puede covertirse en horrible al cabo de un par o tres de años, cuando se pierde la idea inicial de partir del protagonismo de los alunos para "algorimizar" el nuevo método. Yo ya me imagino cuadernos de cáculo con 200 rectas numéricas, 150 ABN, y "relaiza 500 "problemas modelo" pISa para pasar la prueba de competencies. SE que me voy del tema, pero creo que forma parte de él

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Gracias, David, por tus comentarios en este blog. Siempre es un lujo contar con tu opinión.
      Aprovecho desde aquí para comunicarte que tu idea de aplicar algunas estrategias creativas de la "Gramática de la Fantasía" (Gianni Rodari) para analizar algunos aspectos del currículo de Matemáticas me parece genial y creo que muy fructífera. Me ha sugerido ciertas analogías que es probable que desarrolle...

      Eliminar
  4. Hola Juan, tu análisis del método ABN es acertadísimo, en el fondo y en la forma; en cuanto a lo 1º, lo has justificado+, podríamos añadir conclusiones sacadas de nuestra experiencia que corroboran que las matemáticas son algo más que el planteamiento diferente de ejecutar las "cuentas", planteamiento que llevamos practicando muchos profesionales metidos en esto desde hace décadas (así se lo comenté a Jaime en la presentación que hizo de dicho método aquí en Chiclana, amén de felicitarlo por su formalización), incluso aportar matices, como el preferir de material las regletas Multibase, ya que evitan riesgos de pincharse y además la equivalencia que se establecen en el cambio de órdenes es fácilmente demostrable teniendo en cuenta las tres dimensiones largo, alto, ancho.....
    Respecto a la forma de plantear el método, me parece que entre los profesionales que lo están poniendo en práctica se está haciendo demasiado hincapié en este aspecto de la matemática, dejando a un lado otros como la geometría y las magnitudes, y desplazando el eje central de las matemáticas que es la resolución de situaciones problemáticas y los juegos colectivos.
    Como anécdota comento, que de todos mis alumnos (con n.e.e.), sólo uno con S. Asperger, consiguió la habilidad de calcular mentalmente mediante la descomposición, más rápido que una calculadora, lógicamente.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Gracias, Alicia, por aportar tu valiosa experiencia personal al repecto. Durante muchos años he contemplado cómo para una gran mayoría de docentes, incluso de formadores, el currículo de matemáticas se reducía prácticamente a la numeración; cómo gran parte de la formación de maestros/as en matemáticas (sobre todo para los que se iban iniciando)versaban sobre aspectos teóricos y filosóficos en relación con la psicogénesis del número que apenas conducían a saber establecer conexiones fecundas en relación con la epistemología y didáctica de la matemáticas. Es por ello que siempre defenderé una visión amplia, rica, flexible y diversa del currículo de matemáticas...

      Eliminar
  5. Me parecen muy interesantes tus reflexiones sobre el "riesgo" de que un método, que a priori creo valido, se convierta en un fin y no en un medio.
    Una pequeña puntualización si me lo permites, en el video que enlazas sobre "destronar el cálculo" de Arthur Benjamin, no se habla del cálculo como cálculo aritmético sino como cálculo infinitesimal (Análisis), conceptos radicalmente diferentes.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Gracias, Fco. Javier, por tu comentario.
      Tienes toda la razón en la puntualización que haces. Ha sido una torpeza por mi parte dejarme llevar por el aspecto homónimo de conceptos tan diferentes.

      Eliminar

Didactmaticprimaria agradece tus comentarios