domingo, 25 de noviembre de 2012

Regularidades en el plano. Mosaicos, cenefas, celosías...

En la entrada titulada "Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas", se comentaba que un recurso barato y de enorme interés didáctico para trabajar aspectos geométricos a lo largo de toda la Etapa Primaria lo constituyen las tramas (o mallas) de puntos ( la trama ortométrica y la isométrica, fundamentalmente).  Éstas, a efectos prácticos,  pueden ser consideradas geoplanos dibujados. Podemos fotocopiarlas y obtener tantas copias como se desee de las mismas. Permiten abordar numerosas cuestiones de geometría dibujada (el dibujo es el procedimiento específico de la geometría) a lo largo de toda la Educación Primaria.

Entre las cuestiones que permiten abordar, y enlazando con la entrada anterior de este blog, se encuentra el trabajo apoyado en el descubrimiento y aprovechamiento de patrones y regularidades geométricas en relación con el diseño de mosaicos, cenefas, celosías... Puesto que la la geometría dibujada pone de manifiesto aspectos artísticos y plásticos que se sustentan en aspectos matemáticos, podemos aprovechar las tramas de puntos para interrelacionar  Matemáticas y Educación Plástica en Primaria.



domingo, 18 de noviembre de 2012

Regularidades en matemáticas. Patrones

Las matemáticas son una ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. 

La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Cada uno de estos ámbitos, obviamente, presenta regularidades específicas. De una manera especial, muchas regularidades pueden ser expresadas numérica y gráficamente...



Estándares curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática publicados por la S.A.E.M Thales en 1991"Denominamos patrón a la traducción de la palabra inglesa pattern, la expresión que lo define puede ser: Toda situación repetida con regularidad da lugar a un patrón.
Un cierto punto de vista actual, considera la matemática como la ciencia de los patrones. Se supone que lo que la matemática estudia son las regularidades que se producen en la vida real."
("RAZONAMIENTO INDUCTIVO DESDE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA".Encarnación Castro Martínez. Dtº. De Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada)



En los "Estándares curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática" (National Council of Teachers of  Mathematics), publicados por la S.A.E.M. THALES en 1991- ADDENDA SERIES, Nivel Inicial-, en relación con los PATRONES,  se recogen, entre otras muchas, las siguientes afirmaciones, que comparto totalmente:
"Desde los niveles más tempranos, el currículo ha de dar al estudiante la oportunidad de fijarse en la regularidad de los sucesos, formas, dibujos y conjuntos de números. Los niños han de empezar a ver que la regularidad es la esencia de las matemáticas. (Estándares 1991, p. 60)"
"Cuando se integra el conteo con actividades de patrones se enriquecen aún más las experiencias matemáticas de los niños..."
"Las actividades con patrones [basados en objetos físicos y dibujos] estimulan a los niños a reforzar sus destrezas comunicativas por medio de la descripción oral de patrones y constituyen un enlace natural entre las matemáticas y las demás materias" 
Patrones con imágenes para estimular explicaciones, razonamientos y argumentaciones

En los estándares aludidos se hacen sugerencias relacionadas con la impresión de patrones, transferencia de patrones, empleo de patrones (cuentos repetitivos, patrones con números,...).

Un buen enfoque del tratamiento de la matemática en Primaria debe basarse en poner de manifiesto y aprovechar las regularidades que se dan en cada uno de los bloque de contenidos. He aquí un documento de gpdmatematica.org.ar (en .pdf) que nos permiten profundizar en el tema de los patrones:

En el blog  "PuntMat" podemos encontrar varios artículos interesantes y muy bien ilustrados sobre relaciones y cambios que profundizan en los patrones relacionando números y formas.

¿Cómo tratan las aplicaciones_TIC interactivas este tópico matemático?

Me voy a limitar a presentar tres aplicaciones diferentes:


Sucesiones y patrones
Esta primera aplicación, "Sucesiones y patrones" de e-learningforkids.org,    presenta una interactividad "del lado del profesor"  explicando muy bien cómo reconocer patrones numéricos, centrándose en la determinación de la operación que permite pasar de un término a otro y en adivinar el número que sigue en una sucesión numérica.   
Aunque presenta algunas sucesiones relacionas con hechos reales (la regularidad observada en las manchas solares, por ejemplo) utiliza un modo de presentación predominantemente simbólico (números).


Patrones gráfico-numéricos
En esta otra aplicación, del  Freudenthal Instituut, se relacionan patrones gráficos y numéricos. La interactividad aquí, está puesta más al servicio del alumno que en la anterior y se centra en el descubrimiento y expresión de los patrones propuestos en diferentes grados o niveles de dificultad. A mi juicio, refuerza en mayor medida la relación entre el razonamiento inductivo y la búsqueda y descubrimiento de patrones.

El descubrimiento de regularidades como estrategia de recuento
En esta tercera aplicación "¿Cuántos?" se "obliga" a los/as alumnos a  utilizar diferentes y eficaces estrategias de recuento de elementos distribuidos en el espacio 2D y 3D, así como a la cuantificación de conjuntos numéricos que presentan regularidades que favorecen el razonamiento inductivo y, por tanto, la generalización. La idea que subyace en la misma es que descubrir las regularidades existentes se muestra como una potente estrategia para el recuento.

Presenta 20 escenas diferentes, lo que permite diversificar y enriquecer los contextos en que aparecen regularidades (mosaicos, poliedros, embaldosados, construcciones policúbicas, construcciones tridimensionales y planas diversas, sucesiones numéricas...).  El descubrimiento  de las regularidades ayuda a la cuantificación y ésta, a su vez, favorece el descubrimiento de patrones...



sábado, 17 de noviembre de 2012

Adaptando aplicaciones a su uso con PDI

Desde "didactmaticprimaria" se continúa mejorando las aplicaciones que se ofrecen. Hoy aporto dos aplicaciones antiguas (de 2007 -entonces mi centro no disponía de pizarras digitales interactivas; ahora contamos con 10-) que han sido mejoradas para adaptarlas a su utilización con PDI : "Canicas" y "Multiplicando por partes ".

Canicas. Simulación de problemas aritméticos.
"Canicas" permite la realización de 20 problemas diferentes (divididos en dos niveles de dificultad) en los que hay que realizar una simulación de las relaciones expresadas entre el número de canicas que tiene Laura y las que tiene Luis. Se ha mejorado su adaptación a la PDI permitiendo que las cantidades se seleccionen mediante botones de incremento y no necesiten introducirse desde el teclado. Además, "obliga" a realizar la simulación (colocar a cada niño el número adecuado de canicas) para contabilizar aciertos.
Otras muchas aplicaciones que tratan la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS desde planteamientos no rutinarios e innovadores, profundizando en la búsqueda de "Metamodelos -TIC " se ofrecen en "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV".


Multiplicando por partes. Propiedad distributiva

En "Multiplicando por partes " se ha mejorado su adaptación a la PDI permitiendo que los resultados de los productos parciales puedan ser introducidos, además de desde el teclado, pulsando sobre el panel de botones numéricos desplazable que aparece en pantalla. Además de sugerir un orden de completado, se ha posibilitado la elección libre de la casilla a completar.
Permite practicar la multiplicación "por partes" basada en la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma ( que es, a su vez, la estrategia fundamental para el cálculo multiplicativo). Presenta tres niveles o grados de dificultad diferentes. Forma parte de un conjunto de aplicaciones que abordan el cálculo multiplicativo desde la fase manipulativa, pasando por la fase gráfica, hasta llegar a la fase simbólica (sólo números, a la que corresponde esta aplicación)  ofrecidas en "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_II".

jueves, 8 de noviembre de 2012

Dinamic Paper, de Illuminations

Desde Illuminations, se ofrece, entre otras muchas, esta interesante aplicación que nos permite generar fácilmente elementos gráficos para el diseño de actividades de matemáticas: rectas numéricas, tramas de puntos, ejes de coordenadas rectangulares y polares, desarrollos planos de poliedros básicos, mosaicos, etc... Permite que personalizemos nuestro trabajo mediante la configuración de determinados parámetros de cada  elemento gráfico elegido. Las elecciones y configuraciones realizadas se pueden ir añadiendo a diferentes páginas de un documento que puede, luego, ser descargado en formato .pdf. También se puede descargar en formato JPEG.


Dinamic Paper, una aplicación de Illuminations



miércoles, 7 de noviembre de 2012

Diseñando mosaicos con una familia de teselas isoperimétricas

Diseño de mosaicos con una familia de teselas de igual perímetro.
Mosaicos con teselas curvilíneas de igual perímetro


Os presento la última aplicación que he mejorado.
Se basa en una familia de figuras de igual perímetro. Cada una de ellas está formada por cuatro cuadrantes de circunferencia del mismo radio.
Mediante la obtención de tantas copias como se desee de cada una de ellas, su traslación y rotación - de 90º en 90º- y el ajuste perfecto en la pantalla de diseño, se pueden realizar actividades de obtención de figuras complejas a partir de estas figuras elementales; mosaicos; exploración de las propiedades de teselación o pavimentación del plano de cada figura; diseño libre de motivos ornamentales; diseños simétricos...




Trabajando la percepción analítica mediante el copiado de figuras.
También se ha mejorado el código de la aplicación "Copiar figuras" para permitir que el usuario copie la figura pulsando sobre un número variable de vértices. Tenía algunos errores de comprobación y daba por válidas figuras no correctamente copiadas.
Esta interesante aplicación permite trabajar, de manera muy amena, la percepción analítica




(Ambas aplicaciones están incluidas en la colección "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_I")

sábado, 3 de noviembre de 2012

El círculo, un polígono regular muy especial. Áreas de figuras básicas. Relaciones.

La nueva aplicación que se ofrece es el resultado de la adaptación y mejora de algunas aplicaciones que había realizado hace años y que, al contrario que ésta, no estaban adaptadas para su utilización con PDI.

Desplegando un polígono regular para convertirlo en un rectángulo de áreas equivalente
Desplegando un polígono regular
Se trata de una aplicación muy completa que ilustra, de manera dinámica, cómo se obtienen las áreas de figuras básicas (triángulo rectángulo, otros triángulos, paralelogramos, cometas, trapecios, polígonos regulares y círculo) a partir del área del rectángulo. También propone el cálculo estratégico de áreas de familias de figuras obtenidas en mallas cuadradas y en mallas triangulares equiláteras así como el área de las figuras básicas antes mencionadas.

En ella se le da un tratamiento especialmente interactivo al área de un círculo a partir del área de un polígono regular. Y al área de ambos a partir de la del rectángulo (también a partir de las áreas de paralelogramos y romboides).

En Primaria suele presentarse el círculo como un no polígono ( porque no tiene lados rectos). Esto no es sino consecuencia de una visión tradicional y estática de la geometría. Desde una perspectiva dinámica, como la que ofrece esta aplicación, es fácil ver y comprobar cómo un polígono regular de 30 ó 40 lados, inscrito en un círculo, apenas puede diferenciarse del mismo. ¿Y si aumentamos el número de lados a 200 ó 1000? ¿Qué tendencia muestra su apotema?¿Y la longitud de sus lados? No resulta chocante, pues, aceptar que un círculo es un polígono regular de infinitos lados rectos infinitamente pequeños. En el caso límite (al aumentar progresivamente el número de lados) la apotema se confunde con el radio del círculo, la longitud del lado del polígono regular tiende a cero y el perímetro tiende, sin sobrepasarlo, al valor de la longitud de la circunferencia. 

Estos casos límite (como ocurre cuando se consideran los triángulos casos límite de cometas)  pueden ilustrarse de manera óptima gracias a las aplicaciones que, de una manera u otra, permiten abordar geometría dinámica.





En el siguiente vídeo se nos ofrece una manera curiosa y original de acercarse al área de un círculo. Aunque se realice con elementos tridimensionales (esferas idénticas), no es difícil imaginar la correspondiente demostración con círculos idénticos tan pequeños como se desee (con puntos). La ilustración es muy sugerente y acertada: