miércoles, 6 de enero de 2016

Divisibilidad en Primaria.



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Alusiones a la DIVISIBILIDAD en la Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía.

Criterio de evaluación (para 3º ciclo de Primaria):
C.E.3.4. Leer, escribir y ordenar en textos numéricos académicos y de la vida cotidiana distintos tipos de números (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas), utilizando razonamientos
apropiados e interpretando el valor de posición de cada una de sus cifras.


2.10. Divisibilidad: múltiplos, divisores, números primos y números compuestos. Criterios de divisibilidad.2.25. Obtención de los primeros múltiplos de un número dado.2.26. Obtención de todos los divisores de cualquier número menor que 100.
Criterio de evaluación (para 3º ciclo de Primaria):
C.E.3.5. Realizar, en situaciones de resolución de problemas, operaciones y cálculos numéricos sencillos, exactos y aproximados, con números naturales y decimales hasta las centésimas, utilizando diferentes procedimientos mentales y algorítmicos y la calculadora.
2.25. Obtención de los primeros múltiplos de un número dado.2.26. Obtención de todos los divisores de cualquier número menor que 100.

En Primaria se puede afirmar que el primer acercamiento a los contenidos propios de la DIVISIBILIDAD se produce con la construcción de las series aritméticas ascendentes comenzando por el cero, es decir, contando de "tantos en tantos" a partir de cero. Este es el procedimiento de construcción de la serie ordenada de los múltiplos de un número cualquiera.

Si contamos una cantidad de billetes de 5 euros y vamos anotando los valores obtenidos tendremos una serie ordenada de múltiplos del 5. La construcción de la propia serie sirve como estrategia para resolver problemas tales como:
  • ¿Puedo conseguir 35 euros sólo con billetes de 5 euros? ¿Y 42 euros?
  • ¿Cuántos billetes de 5 euros se necesitan para juntar 55 euros?
Si visualizamos la serie de los múltiplos de 60, por ejemplo, encontraremos números terminados exclusivamente en 60 - 20 - 80 - 40 - 00 ...lo que facilita el descubrimiento y expresión de un criterio para determinar si un número determinado es, o no, múltiplo de 60.

Contar de "tantos en tantos" a partir del cero es la base de la construcción de las tablas de multiplicar pitagóricas (que también son las tablas de dividir). Es indudable que éstas han de construirse y memorizarse ya que constituyen un conjunto relativamente reducido de hechos numéricos indispensables para alcanzar competencia en el cálculo multiplicativo. 

En la tradición escolar la primera fase del aprendizaje de las tablas es una tarea totalmente convergente (7 x 5 = 35, factores --->producto), lo cual es lógico. La expresión de esta relación de todas las maneras posibles  es la verdadera expresión de la relación de DIVISIBILIDAD (7 x 5 = 35 --->5 x 7 = 35 ---> 35 : 7 = 5 ---> 35 : 5 = 7 ) y permite introducir el vocabulario específico básico (producto, factor, múltiplo, divisor...) y conceptos ligados a esos términos.

Dado que “divisor” tiene significados diferentes como uno de los términos de una división y como factor de un número, un contexto ideal para la introducción del vocabulario específico de la DIVISIBILIDAD es la división exacta ya que en ella el divisor es realmente factor o divisor del dividendo (lo que no es cierto para la división entera).

Los que apostamos por un cálculo pensado y flexible a partir de la descomposición numérica  vemos la necesidad de adelantar contenidos de divisibilidad para la realización de multiplicaciones y divisiones “por partes”. Nótese, por ejemplo, que la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o resta es una consecuencia directa del hecho de que la suma (o resta) de dos múltiplos de un número es un nuevo múltiplo del número:

  • 6 x 45 = 6 x (40 + 5) = 240 + 30 = 270 (hemos obtenido el múltiplo de 6 deseado – el 270- como suma de otros dos múltiplos de 6)
  • 6 x 45 = 6 x (50 - 5) = 300 - 30 = 270 (hemos obtenido el múltiplo de 6 deseado – el 270- como resta de otros dos múltiplos de 6)

También en la división el dividendo puede distribuirse y permitir una realización de la división por partes en la que todas y cada una de las partes (si la división es exacta) pueden ser múltiplos del divisor o todas menos una (si la división es entera):
  • 153 : 9 = (90 + 63) : 9 = 10 + 7 =17.
  • 154 : 9 = (90 + 63 + 1) : 9 = 10 + 7 + 1/9 = 17 + 1/9.

Es por ello que la multiplicación debe transcender el simple conocimiento y uso de las tablas pitagóricas y ser una búsqueda pensada de múltiplos.


Evidentemente la relación de divisibilidad es reversible. Por eso, a partir de aquí, hay que retomar y enfocar las tablas de multiplicar no sólo en la dirección convergente (factores ---> producto) sino, sobre todo, en la dirección divergente (producto ---> factores) a la par que se “extienden” éstas por ser partes de conjuntos más amplios (cualquier número tiene infinitos múltiplos...).

Buscar dos o más factores para un número es un proceso divergente (creativo), como he mencionado anteriormente. Si hasta este momento el/la alumno/a tenía que saber que 7 x 8 = 56, ahora debe descubrir y formalizar que 56 = 7 x 8; 56 = 4 x 14; 56 = 2 x 28; etc.

Este hecho divergente permite apreciar y obtener ya diferentes formas de agrupar una determinada cantidad de objetos (56 caramelos ---> 7 bolsas x 8 caramelos/bolsa ; 56 caramelos ---> 4 bolsas x 14 caramelos/bolsa; etc.).

A partir de aquí, la progresión en el dominio de la divisibilidad puede seguir diferentes caminos que acaban solapándose unos con otros y reforzándose:




Se puede enfocar la búsqueda de factores de un número para el descubrimiento de los números primos (basta con poner la condición de que los factores deben ser mayores que 1, o considerar cantidades de objetos con los que no puedan formarse dos o más filas iguales) y compuestos, para descubrir regularidades relativas a la descomposición factorial -criterios de divisibilidad- (todos los números acabados en 5 se pueden formar utilizando 5 como uno de los factores; todos los números pares se pueden formar utilizando el 2 como uno de los factores; etc.); para constatar que no existe una única descomposición factorial  posible para un número dado (360 = 36  10 ; 360 = 6  6  10360 = 12  3  2  5, ...); para introducir de manera natural la descomposición factorial "máxima", o factorización, (360 =  2  2  2  3  3  5), ...

Cabe destacar aquí que factorizar un número (= hallar su descomposición "máxima") no implica necesariamente el conocimiento previo de los números primos (para números apropiados para alumnos/as de Primaria) ni de las potencias. De hecho, es un procedimiento que acaba cuando nos topamos con esos números que no somos capaces de expresar como producto de dos factores distintos de 1. Desde cualquier descomposición no máxima se llega con relativa facilidad a la factorización... Este procedimiento no aporta nada sustancialmente nuevo en relación con la factorización tradicional a excepción de una mayor flexibilidad y esa flexibilidad ya tiene valor didáctico en sí misma.

La factorización es la materialización del teorema fundamental de la aritmética: Todo número compuesto puede ser expresado como producto de factores primos. A partir de ella, de una manera preferentemente comprensiva (más que algorítmica) se pueden obtener parejas de divisores de manera que el producto de cada pareja de divisores sea el propio número. Esto es más que suficiente, por ejemplo, para la "Obtención de todos los divisores de cualquier número menor que 100." (contenido que aparece en Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía) y para resolver problemas en los que se busca de manera exhaustiva los diferentes modos de empaquetar una determinada cantidad de objetos (24 rosas ---> 1 ramos de 24 rosas; 2 ramos de 12 rosas; 3 ramos de 8 rosas; 4 ramos de 6 rosas; 6 ramos de 4 rosas; …)

La presentación de los divisores por parejas tiene excepciones que ayudarán a poner de manifiesto con más facilidad regularidades tales como: un número que sea cuadrado perfecto tendrá un número impar de divisores diferentes (16 = 4•4 ---> Div (16)={1,2,4,8,16}); un número compuesto que no sea cuadrado perfecto tendrá siempre un número par de divisores diferentes (250=2•5•5•5; ---> Div(125)={1,2,5,10,25,50,125,250})

Es necesario hacer hincapié en el análisis-síntesis de la factorización de un número ya que ésta “encierra todos los secretos del número”. Cada parte considerada en el conjunto de todos los factores primos de un número es un divisor de dicho número (al igual que la parte complementaria). Esto se pone de manifiesto con toda rotundidad con el que yo denomino ”ábaco de factores”…

Obtener números primos tiene sentido en sí mismo dada la importancia cultural, científica y tecnológica de los mismos. Debe relacionarse el tema de los números primos con su búsqueda desde la antigüedad (Eratóstenes, Euclides...) hasta nuestros días...y conocer y valorar la importancia de los mismos a partir de cierto conocimiento de los esfuerzos tecnológicos por encontrar el número primo más grande y sus aplicaciones tecnológicas, a grandes rasgos y de manera adecuada al nivel de nuestros alumnos de 3º ciclo.


Ver Dividir una tarta en partes iguales. Reflexiones sobredivisibilidad en Primaria.








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