miércoles, 18 de octubre de 2017

REPRESENTAR, una poderosa estrategia en la resolución de problemas.

Algunas tipologías de problemas que se proponen en Primaria (por considerarse especialmente adecuadas para desarrollar capacidades de análisis, de razonamiento lógico, por favorecer actitudes de perseverancia, por obligar a una lectura analítica del enunciado,...) a menudo se presentan mediante enunciados que incluyen descripciones de eventos o situaciones que, en forma verbal, son muy difíciles de relacionar entre sí. 

Me refiero, sobre todo, a aquellos problemas de enunciado verbal en los que, por lo general, sólo se ve involucrada una magnitud (o variable) pero que necesitan ser leídos y releídos con especial cuidado, puesto que suelen expresar relaciones cualitativas y/o cuantitativas (en relación con esa magnitud) haciendo inversiones de orden y obligando a posponer o postergar el uso de la información que se acaba de procesar hasta disponer de otra que entre en relación con la primera y la haga útil...

Una representación gráfica adecuada permite la traducción visual del enunciado facilitando enormemente el control de las relaciones que en él se describen verbalmente. Además, no necesariamente hay que seguir el orden establecido en el enunciado...Eso sí, obliga a leer y releer éste comprobando, a la par, si la traducción gráfica es correcta parte a parte, relación a relación.

La visualización de conceptos y relaciones es ineludible en la matemática de la Etapa Primaria. Es imprescindible, didácticamente hablando, hacerles ver a los/as niños/as el poder que tienen las estrategias en la RP y, en especial, la de REPRESENTAR, en tanto en cuanto permiten simplificar en gran medida aquello que se presentaba como algo complejo y enrevesado...

Una aplicación digital e interactiva como ésta hace muy atractiva y relativamente sencilla la resolución de problemas con inversión de orden o con enunciados difíciles de leer al facilitar representaciones gráficas ágiles con elementos móviles que permiten el ensayo y error y el establecimiento adecuado de las relaciones que describe el enunciado. Pero hay que tener muy presente que una representación figurativa muy cercana a la realidad que se describe es más difícil de realizar por parte de los/as alumnos/as (complejidad del dibujo) de manera que refleje adecuadamente las relaciones que describe el enunciado, además de ser MENOS GENERAL que una representación gráfica con elementos simples (líneas, puntos, flechas, barras,...).

Desgraciadamente no es posible disponer de un modelo gráfico relativamente sencillo y con la suficiente generalidad como para abordar la REPRESENTACIÓN de ciertas tipologías de problemas.

El objetivo de esta aplicación es familiarizar al alumnado con LA ESTRATEGIA DE REPRESENTACIÓN. Una parte de la aplicación propone problemas a resolver utilizando diferentes representaciones más o menos figurativas (elementos desplazables y ordenables sobre una recta, diagramas de Venn, árbol genealógico, tablas, asociación de etiquetas,...) hasta desembocar (en una segunda parte de la aplicación) la representación mediante un completo y sencillo modelo de diagrama lineal interactivo para una magnitud o variable (fácilmente transferible a problemas análogos en los que intervienen dos variables o magnitudes).  

Cuando los/as alumnos/as resuelven los problemas propuestos haciendo uso de este diagrama lineal están preparados para el siguiente nivel: utilizar este mismo diagrama de manera libre para la invención de sus propios problemas.

Representar, una poderosa estrategia en la RP.

domingo, 8 de octubre de 2017

jueves, 3 de agosto de 2017

CUERPOS GEOMÉTRICOS. Tercer ciclo. Primaria

CUERPOS GEOMÉTRICOS. Tercer Ciclo. Primaria.


"De todas las disciplinas matemáticas la Geometría es la que mayores posibilidades ofrece a la hora de experimentar, mediante materiales adecuados, sus métodos, sus conceptos, sus propiedades y sus problemas". 

Claudi Alsina, Carme Burgués, Josep Mª Fortuny.

"MATERIALES PARA CONSTRUIR LA GEOMETRÍA"

(Matemáticas. Cultura y aprendizaje. (nº 11). Editorial Síntesis)

Estoy totalmente de acuerdo con la cita. De hecho ya la he usado anteriormente en varias ocasiones y en otros sitios.  Además, en mi dilatada experiencia docente, he "vivido" y "experimentado" el enorme valor formativo que la Geometría tiene, tanto para el docente como para el alumno. Han sido muchos los casos que he conocido de alumnos/as que se han "enganchado" a las matemáticas a través de tareas geométricas sensibles y constructivas...

La Geometría, desde un principio, fue también la parte de la matemática que más me sedujo, llegando incluso a patentar y poner en el mercado un material físico manipulativo, ARQUIMAT.

Desde el año 2000, vengo desarrollando y mejorando manipulativos virtuales para la enseñanza y aprendizaje de la Geometría compatibles, obviamente, con tareas de trazado, recortado, plegado, construcción... con otros materiales físicos.
  
La macroaplicación que ofrezco aquí (que incluye, entre otras, a las ofrecidas en las dos entradas anteriores), como otras muchas de DidactmaticPrimaria, supone un enfoque rico e innovador en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría en Primaria. Propone una geometría fuertemente visual, manipulativa y  constructiva apoyada en tareas de exploración y descubrimiento, de conceptualización,  de comprobación, de resolución de retos e investigaciones; Una geometría eficaz para el desarrollo de habilidades visuales, de comunicación, de dibujo y construcción, de realización de medidas directas e indirectas, de razonamiento, de búsqueda de regularidades y relaciones cualitativas y cuantitativas; de aplicación y transferencia...

Se puede comprobar cómo pone el énfasis y facilita procesos relevantes: experimentar, explorar, descubrir, crear, relacionar, conjeturar, formular, argumentar, discutir, justificar, probar, demostrar, generalizar...

Desde una visión como ésta es lógico que me sorprenda encontrar algunos documentos en los que (para magnificar la relevancia de lo que no es tan relevante ni innovador) todavía se quiere exagerar la importancia y bondad  de ciertos métodos (de cálculo) afirmando que aportan a la Geometría un cálculo eficaz y rápidoo habilidad (técnica) en la resolución de raíces cuadradas o en la suma de cantidades expresadas en grados, minutos y segundos... 

Esto implica, explícita e implícitamente, una visión reduccionista y muy pobre del potencial de la Geometría para el desarrollo del currículo de Matemáticas en Primaria. y para el desarrollo personal del alumnado. A pesar de la buena fe, que no pongo en duda, de quienes lo manifiestan y publicitan en grado extremo, hay que decir con rotundidad que  "no han vivido la geometría".

martes, 4 de julio de 2017

Puzle_transformables y construcciones poliédricas

Puzle_transformables y construcciones geométricas

Algunos de los contenidos,  correspondientes  al 3º ciclo de Primaria, sobre los que se incide:

4.13. Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y descomposición.
4.16. Regularidades y simetrías: Reconocimiento de regularidades.
4.17. Reconocimiento de simetrías en figuras y objetos.
4.18. Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto de un elemento dado.
4.19. Introducción a la semejanza: ampliaciones y reducciones.
4.20. Utilización de instrumentos de dibujo y programas informáticos para la construcción y exploración de formas geométricas.
4.21. Interés por la precisión en la descripción y representación de formas geométricas.
4.23. Confianza en las propias posibilidades para utilizar las construcciones geométricas, los objetos y las relaciones espaciales para resolver problemas en situaciones reales.
4.24. Interés por la presentación clara y ordenada de los trabajos geométricos.

Fuente: https://aprendiendomatematicas.com/cita-de-santalo/

sábado, 22 de abril de 2017

Modelo de barras interactivo.

En su blog "Más ideas, menos cuentas", Pedro Ramos ha escrito un excelente post sobre "Prueba final de primaria de Singapur ", en la que presenta  los numerosos items de la prueba, los comenta y reflexiona acertadamente sobre los mismos.

Me ha parecido adecuado encabezar este post a partir de un comentario suyo, que reproduzco literalmente:

"Un detalle que me parece muy interesante es la profundidad con la que tratan la aritmética, con problemas como el 15. Aquí son inimaginables antes de llegar al álgebra, y creo que es un error. Como ya he comentado alguna vez, me parece que tratar problemas como estos sin herramientas algebraicas es muy importante para profundizar en la comprensión de la aritmética, y para desarrollar estrategias de resolución de problemas. La herramienta que aquí echamos de menos para resolver estos problemas es su famoso modelo de barras"

Pues bien, aquí está el problema número 15 :


Problema propuesto en Prueba final de primaria de Singapur

Es obvio que problemas aritméticos como éste se identifican con los clásicos problemas que se resuelven algebraicamente y a los que se les dedica un tiempo considerable en Educación Secundaria. Éste, en concreto, se traduce algebraicamente en un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

Traducción algebraica del problema aitmético

También es obvio que problemas como éste se proponen porque se adecuan al modelo de barras tan característico del método Singapur. No todo problema aritmético se traduce fácilmente a un gráfico de barras ni es ésta siempre la mejor o única representación para facilitar la resolución de un problema aritmético.

Así, por ejemplo, encuentro el modelo de barras muy potente en la estructura aditiva ya que cualquier problema (de cambio, combinación, comparación o igualación, según la estructura semántica) puede ser reducido en la mente de los/as niños/as a un problema con tres barras (total y dos partes) integrando en un sólo tipo de esquema los esquemas de alto orden o superesquemas "parte-todo", de "transferencia" y de "más menos que" propuestos en la teoría de Kintsch y Greeno (1985) para problemas de combinación, cambio y comparación, respectivamente... 

En la estructura multiplicativa ya el modelo de barras es meno adecuado, sobre todo cuando algún factor es relativamente grande...Resulta, en cambio, casi insoslayable en problemas de fracciones y porcentajes porque facilita enormemente la comprensión. Por otra parte, traducen gráficamente bien una buena cantidad de problemas aritméticos que algebraicamente se corresponden con ecuaciones de primer grado, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, ecuaciones de la recta,...

Pero es prácticamente imposible realizar un único modelo interactivo que se adecue a las diferentes tipologías de problemas aritméticos sin que pierda eficacia, agilidad o sencillez...


Modelo de barras interactivo. DidactmaticPrimaria


La imagen anterior muestra el problema modelado utilizando el modelo interactivo incorporado en las aplicaciones que presento a continuación. Nótese que el sistema de ecuaciones invita a su resolución por "sustitución". De manera análoga, en el modelo con barras se ha de sustituir cada barra roja (X) por  barra azul (y) + 0.8, de tal manera que podríamos afirmar que 8 barras azules + 3 x 0.8 es igual a 7.2. A partir de aquí es fácil resolver el problema.

Se trata de un modelo interactivo tremendamente ágil y muy sencillo de utilizar. A pesar de ello, las aplicaciones disponen de un tutorial interactivo para aprender el uso del modelo. He eludido en él el tratamiento de problemas de fracciones y porcentajes porque dispongo de otros modelos interactivos y asistidos más adecuados. En la aplicación para tercer ciclo de Primaria el modelo puede mostrar todos sus elementos y potencial. Para la aplicación dirigida al segundo ciclo de Primaria se utiliza el mismo modelo, pero simplificado.

Resolución de problemas aritméticos. Modelo de barras interactivo. Tercer Ciclo.



Resolución de problemas aritméticos. Modelo de barras interactivo. Segundo Ciclo.


Pero la utilización del modelo de barras, conlleva profundas reflexiones didácticas:
"Al disponerlos gráficamente, los datos conocidos y desconocidos se organizan de relativamente pocas formas diferentes, lo que facilita al alumno la identificación de la operación que corresponde a cada una de ellas" 
Urbano Ruiz S.,  Fernández Bravo  J.A., Fernández Palop M. P. ;  Universidad Camilo José Cela, España. "El modelo de barras: una estrategia para resolver problemas de enunciado en Primaria"
Opino que siempre que esto ocurra, siempre que el modelo facilite al alumno la identificación de la operación a realizar,  la utilización del modelo será adecuada.


  • ¿Ocurre esto siempre que se puede utilizar el modelo de barras? 
  • ¿Ocurre esto en el modelado con barras del problema 15?


Por otra parte, no cabe duda de que saber realizar el modelo, en sí mismo, implica unos saberes, unas subcompetencias matemáticas ligadas a la comprensión, a la traducción de representaciones, etc. De hecho, nos vamos a encontrar mayores dificultades en la construcción del modelo adecuado a cada problema que en la interpretación correcta de modelos ya realizados. Por lo tanto, la modelización requiere una instrucción específica.

Por otra parte, creo que es indisociable la interacción mutua entre la representación lingüística y la representación figurativa. La práctica totalidad de los/as alumnos/as que saben realizar el modelo adecuado para un problema (en los casos menos complejos) es porque tienen la capacidad de previsualizarlo y, por lo general, de expresar lingüísticamente (prealgebraicamente) las relaciones entre los datos y la/s incógnita/as así como la capacidad para resolverlo una vez realizado...Por el contrario, difícilmente va a realizar correctamente el modelo un/a alumno/a que previamente no lo haya previsualizado o que no sepa verbalizar o subverbalizar lingüísticamente las relaciones aludidas entre los datos y la incógnita...

Otra cuestión interesante para el análisis que se pone de manifiesto en la práctica escolar es que el modelo de barras se basa en el establecimiento de relaciones entre las longitudes de las barras y el etiquetado de las mismas. Como, a priori, no se conocen los valores de las incógnitas, las barras utilizadas van a tener unas longitudes arbitrarias. Aunque el modelado del problema puede ser correcto sin que las barras guarden longitudes proporcionales a sus valores, se establecen con frecuencia relaciones incorrectas basadas en lo estrictamente figurativo del esquema que se está realizando.

Es obvio que este tipo de problemas podría tener otras representaciones figurativas alternativas:


Representación figurativa del problema número 15.

Representación figurativa del problema de las chucherías, portada de la aplicación 3º Ciclo.



domingo, 2 de abril de 2017

Equivalencias entre modelos gráficos en la resolución de problemas aritméticos. El modelo de barras.

Equivalencias entre modelos gráficos en la resolución de problemas aritméticos. El modelo de barras.



Esta aplicación pretende poner de manifiesto la utilidad del "MODELO DE BARRAS" (Método Singapur) como estrategia heurística para la modelización de problemas aritméticos. 

Los gráficos estáticos que se ofrecen - y que en su mayoría se corresponden con problemas aritméticos no verbalizados- pueden ser utilizados por los docentes como instrumento de aprendizaje del "MODELO DE BARRAS a la par que se trabaja la equivalencia entre representaciones gráficas. Por ello no se dan las soluciones. Se pretende que sean los/as alumnos/as quienes pongan enunciado a la situación representada y, a su vez, expresen las relaciones, los argumentos y razonamientos que lleven a determinar cuantitativamente las variables que aparecen (con lo cual se resuelve el problema representado).

Pero esta aplicación es, sin duda, un instrumento para la formación del profesorado. Ilustra la manera en que el "MODELO DE BARRAS es adecuado para la modelización de problemas aritméticos que algebraicamente se corresponden con ecuaciones de primer grado, con sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y con ecuaciones de la recta. NO HAY MODELIZACIÓN MATEMÁTICA SI NO SE REPRESENTA O EXPRESA UNA ECUACIÓN, UNA INECUACIÓN, UN SISTEMA DE ECUACIONES,... No he pretendido ser exhaustivo. Creo que es más que suficiente para ver su utilidad.

No cabe duda, como se puede apreciar en la aplicación, que permite representar perfectamente, y con relativa sencillez, las relaciones numéricas implicadas en cada uno de los ejemplos-problema, y que puede hacerse corresponder con el modelo "BALANZA/S EQUILIBRADA/S" (muy utilizado en DidactmaTICprimaria ) , que podría presentarse de manera más esquemática con barras en cada platillo...

Conviene tener en cuenta el sentido de esta aplicación en la enseñanza/aprendizaje de la utilización del modelo de barras. Lo que aquí se propone es la correcta interpretación del modelo ya realizado. EN OTRO NIVEL DE MAYOR DIFICULTAD SE SITÚA LA REALIZACIÓN DEL MODELO GRÁFICO, DESDE CERO, POR PARTE DE LOS/AS ALUMNOS/AS PARA MODELIZAR Y RESOLVER UN PROBLEMA ARITMÉTICO. 

En los dos post anteriores ya he presentado variantes interactivas del modelo de barras, pero estoy trabajando en un modelo interactivo lo más general y sencillo posible... sobre todo, una vez constatada la insuficiencia de los materiales impresos que desarrollan este modelo. Hay buenas versiones digitales  del modelo de barras. No obstante, las más generales me parecen complejas y las más simples no demasiado ágiles:
Modelos interactivos "Thinking Blocks", de Math Playground



No cabe duda del potencial del  'modelo de barras' para la modelización de problemas aritméticos. Aunque esta modelización (representación gráfica) es ya una actividad matemática relevante en sí misma, el profesorado debe asegurarse de que la utilización del modelo favorezca, en los/as alumnos/as, la determinación de las operaciones que intervienen en la resolución del problema.


Post relacionados con éste:





domingo, 26 de marzo de 2017

Modelo interactivo partes-todo sobre recta numérica. Resolución de problemas aritméticos.

Modelo interactivo partes-todo sobre recta numérica


Con esta aplicación se trabaja la representación-modelización de problemas de RELACIONES NUMÉRICAS ENTRE TRES O CUATRO CANTIDADES (doble/mitad, triple/tercio, más/menos...). Para ello se utilizan tanto el modelo "part-part-whole" como el modelo "part-part-part-whole" correspondientes al MODELO DE BARRAS utilizados por el método Singapur de Matemáticas, pero en versión interactiva (barras de longitud variable).

El modelo de barras interactivas se combina, aquí, a su vez, con UNA RECTA NUMÉRICA INTERACTIVA que permite mostrar diferentes números de partes unitarias (<=30) y asignar un valor a cada parte unitaria(<=30)

El problema propuesto se resuelve cuando se ajustan correctamente las variables del gráfico interactivo que representa o modeliza la situación y cuando, además, se asignan correctamente los valores numéricos correspondientes a las tres variables que siempre intervienen en los problemas propuestos: <km recorridos ayer>, <km recorridos hoy> y <km recorridos entre los dos días>. (Todo ello en los niveles 1,2,3,4 y 5)

En el nivel 6 aparecen siempre 4 variables: <Cantidad de dinero que tiene Ana>, <Cantidad de dinero que tiene Benito>, <Cantidad de dinero que tiene Carla> y <Cantidad de dinero que tienen entre los tres>.

El ajuste correcto del gráfico exige, en cada caso, tener en cuenta la relación entre las cantidades correspondientes a <ayer> y las correspondientes a <hoy>, por ejemplo; que esa relación o proporción la guarden las respectivas barras de color que representan sendos conceptos. Pero, además, con un número de marcas concreto ha de alcanzarse un valor numérico concreto, lo que obliga al ajuste relativo tanto del número total de marcas asignadas al gráfico como del valor correspondiente a cada división de la recta numérica. Ello obliga al dominio de las tablas de multiplicar o, si se prefiere, de las series aritméticas comenzando en cero.

Como se puede apreciar, los/as alumnos/as tienen que tener en cuenta varias variables numéricas después de haber entendido perfectamente el texto. No les resulta una actividad fácil...

Para hacer la aplicación apropiada a partir del 2º ciclo de Educación Primaria, se han implementado seis niveles o grados de dificultad correspondientes a seis tipologías de problemas propuestos. Pero, además, cada tipología se diversifica en varias subtipologías elegidas aleatoriamente. A su vez, cada subtipología elige cantidades aleatorias dentro de unos rangos numéricos preestablecidos. De esta manera se logra implementar 29 subtipologías de problemas diferentes, cada una de ellas con cantidades aleatorias.


domingo, 19 de marzo de 2017

El modelo de barras en el Cálculo y en la Resolución de PAEV

No cabe duda de que la utilización de modelos gráficos para representar tanto las cantidades (conocidas y desconocidas) como las relaciones involucradas favorece la visualización, estructuración y comprensión en la resolución de determinados problemas y orienta al alumno hacia la determinación de las operaciones que debe realizar con los datos.

Si a ello unimos la verbalización de las magnitudes involucradas, en forma de etiquetas de texto, el modelo resultante es un potente heurístico en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal.


El modelo de barras en el cálculo y en la Resolución de PAEV


En esta aplicación utilizo el modelo partes-todo con regletas de Cuisenaire para apoyar el cálculo básico tanto en la estructura aditiva como en la multiplicativa. También utizo el modelo, de manera más ortodoxa, en la resolución de PAEV de estructura aditiva de nivel1.

El modelo que nos ocupa aquí, el "modelo de barras", modelo "parte-todo" ("part-whole"), fue desarrollado en los años 80  y muy utilizado en el "Método Singapur" de matemáticas. Se ha expandido a lo largo del mundo durante los últimos años debido a las altas calificaciones de los alumnos de Singapur en las pruebas PISA.(***) Se trata de un modelo necesario y fundamental por su adecuación a numerosas situaciones, aunque pueden desarrollarse variantes del mismo y considero que no necesariamente se deben atener a la forma en que es comúnmente presentado ya que no deja de ser un caso particular de la representación gráfica de relaciones partes-todo.

Los conceptos TODO y PARTE son ineludibles en la enseñanza-aprendizaje de la matemática. No se puede hablar de matemática relevante si los/as alumnos/as no hacen un uso constante del análisis (descomposiciones diversas de un mismo TODO) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas PARTES).

Es obvio afirmar que prácticamente todos los libros de texto, desde hace mucho tiempo, han ilustrado, al menos en la representación de fracciones, la relación entre el todo y una parte…

DidactmaticPrimaria utiliza un verdadero derroche de modelos gráfico-dinámicos para favorecer la manipulación, visualización, estructuración y comprensión en la resolución de problemas y retos de todo tipo. Aunque las aplicaciones digitales de DidactmaticPrimaria conforman un proyecto digital que va más allá de métodos específicos de matemáticas, no cabe duda de que apuesta por “experimentar el placer de descubrir” a través de una gran riqueza y variedad de materiales manipulativos (como en el método Montessori, por ejemplo), o por potenciar la comprensión y metacognición a través de modelos relevantes como el modelo de barras del método Singapur..  Así, por ejemplo, he desarrollado y utilizado en mis aplicaciones variantes dinámicas de modelos partes-todo, aún sin conocer el método Singapur,  en:

Figura1: centena dinámica

Figura2: Modelo para resolución asistida de
problemas de fracciones y porcentajes





















Figura 3:  Modelo para resolución asistida de problemas de fracciones.




Figura 4:  Modelo para resolución asistida de problemas de porcentajes.


Una centena dinámica (Figura 1).


Diferentes aplicaciones que he realizado para la resolución asistida 
de problemas con fracciones y porcentajes... 
(Figuras 2, 3 y 4 - en una clase con 25 alumnos/as 2 de ellos representan el 8% )



En problemas de móviles basados en el razonamiento aritmético. 
(Figuras 5A y 5B) 





Figura 5.A : "Modelo de barras implícito" en un problema aritmético de móviles.

Figura 5.B : Se han añadido las barras implícitas (que no eran visibles)

En este último caso podemos considerar que las barras están implícitas (Figuras 5 A y 5B) y que se podrían hacer visibles... La barra correspondiente al TOTAL está representada como fija y tiene en sus extremos a los coches que marchan en sentidos opuestos. Podemos asociar mentalmente una barra PARTE a cada coche, con extremos en él y en el punto de encuentro de ambos (el deslizador móvil que determina los valores de las partes y con la que se resuelve el reto propuesto)…



Figura 6: Modelo part-part-whole incluido en "Así Calculamos en mi Cole"

La figura 6 ilustra una aplicación de 2010 en la que incluí, sin conocer la metodología Singapur, un modelo "part-part-whole" en "Así Calculamos en mi cole" (trabajo premiado por el ITE en 2011). La aplicación la incluí en el submenú "Realizamos un cálculo flexible, pensado y mental en la resolución de problemas" con el título "doble/mitad, triple/tercio en la recta numérica". Quizá por todo lo anterior, desarrollado al margen del conocimiento del método Singapur, fuera por lo que en agosto de 2012 escribí el post 

¿Es novedoso el llamado "Método Singapur" de matemáticas? 

manifestando, sobre todo, mi extrañeza por la pompa y publicidad que determinada editorial y particulares - que aludían incluso a sus propiedades mágico-milagrosas- daban a algo que para mí no suponía novedad...


En el documento "El modelo de barras: una estrategia para resolver problemas de enunciado en Primaria", Sergio Urbano Ruiz, José Antonio Fernández Bravo, y María Pilar Fernández Palop, todos ellos de la Universidad Camilo José Cela, España, realizan un análisis interesante del modelo.

Resulta curioso (y motivo para la reflexión) que la primera imagen que encontramos en la web http://singapur.polygoneducation.com/, precisamente para ejemplificar el modelo de barras en la RP, ilustre y resuelva (o exprese) de manera incorrecta el problema propuesto. Puede que esto ponga de manifiesto una realidad más profunda: La representación gráfica interactúa con las relaciones representadas mentalmente, en un proceso de verificación continua de la adecuación entre las imágenes mentales, las relaciones verbalizadas lingüísticamente (al menos subverbalizadas) y lo que se plasma gráficamente. Se constata, así, que una de las dificultades más importantes en los problemas que expresan relaciones con números es el dominio del lenguaje...




Al menos debería haberse revisado el ejemplo propuesto para evitar errores y ambigüedades...

Gabriela compró 4/5 de kg. de azúcar. Ella usó 3/5 de esa cantidad (de la cantidad comprada) para hacer unos postres.

¿Cuánto azúcar usó? (La unidad de referencia aquí es la cantidad de azúcar que compró. No interesa, aquí, la que no compró, puesto que entonces la respuesta sería obvia y haría totalmente innecesaria la representación gráfica de la situación)


¿Cuánta azúcar le sobró? (Idem).



Sí, me reafirmo en que una de las dificultades más importantes en los problemas que expresan relaciones con números es el dominio del lenguaje...Observemos la más que ambigua utilización de la expresión "tres veces más" en esta imagen correspondiente a una captura de pantalla de un vídeo publicado en Youtube:



(
***): Una circunstancia a tener en cuenta es que Singapur es una ciudad Estado de cinco millones de personas, con un PIB per cápita de 81.000 euros (el de España, por ejemplo, es de unos 28.000 euros).



sábado, 11 de marzo de 2017

Geometría 3D. Construcciones policúbicas. Codificación y determinación.

Construcciones policúbicas. Codificación y determinación.


Ofrezco aquí esta versión mejorada de mi aplicación "codifica_policubos", para ilustrar lo que entiendo por "MANIPULACIÓN AUMENTADA".

En entradas anteriores (Manipulativos físicos y virtuales en la enseñanza aprendizaje de la matemática, por ejemplo) ya he tratado sobre este concepto o atributo. Se trata de una variable técnico-didáctica esencial en el diseño y desarrollo de una gran parte de mis aplicaciones y de una característica diferenciadora de las mismas estrechamente relacionada con la manipulación libre y el aprendizaje por descubrimiento.

En las diferentes escenas que integran esta aplicación, se relacionan de manera interactiva construcciones policúbicas con sus correspondientes códigos, de dos tipos: código gráfico, por capas, en el que cada cubo de una determinada capa se representa con un cuadrado; y código numérico, en el que cada número representa la cantidad de cubos apilados sobre una misma base cuadrada...

Dada una determinada construcción policúbica, resulta tremendamente fácil transformarla en otras diferentes. La aplicación muestra, al instante, la variación en el código (gráfico o numérico) cuando se mueve un cubo de lugar, o cuando se añade o quita un cubo a la construcción policúbica... Esta inmediatez interactiva a la hora de registrar y mostrar los cambios producidos no es simplemente un elemento interactivo de carácter estético o motivacional, sino un elemento clave en la comprensión de los procedimientos, métodos y conceptos que se tratan... 

Si bien la "MANIPULACIÓN AUMENTADA" se puede lograr casi específicamente con el uso de aplicaciones digitales y multimedia adecuadas (que integren las fases manipulativa, gráfica y simbólica), son pocas las aplicaciones de este tipo que se orientan hacia el desarrollo de procesos, métodos y actitudes; y menos, aún, las que potencian en su diseño e interfaz esta potente variable al servicio del aprendizaje por descubrimiento. Al respecto, estoy preparando un documento interactivo que permita hacer, con la máxima objetividad, una clasificación y comparativativa de diferentes proyectos digitales para Matemáticas_Primaria.

Precisamente sobre características relacionadas con la integración de diferentes conocimientos (sobre la disciplina - matemáticas-, tecnológicos y pedagógicos) en los proyectos digitales multimedia para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en Primaria, y sobre todo sobre la manipulación con manipulativos virtuales, ilustrando cada afirmación, tratará el minicurso que impartiré en el VIII CIBEM Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, que se celebrará en Madrid  del 10 al 14 de julio de 2017.

VIII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática


Acceso a las actas del VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática realizado en Montevideo (Uruguay), en setiembre de 2013.



domingo, 5 de marzo de 2017

la resolución de problemas de Matemáticas en la formación inicial de Profesores de Matemáticas.


El capítulo 10 ( de los 14 que conforman este manual) está dedicado a la "Resolución de problemas en matemáticas y TIC. Propuestas actuales y perspectivas de futuro". Sus autores son Luis M. Casas García y José Luis Torres Carvalho.

Dividen las propuestas actuales, de forma sintética, en cinco áreas:
– Propuestas teóricas sobre resolución de problemas, entre las que destacan las recomendaciones y guías de resolución de problemas, tanto para profesores como, en algunos casos, para alumnos. 
Herramientas para la resolución de problemas tales como calculadoras, hojas de cálculo o aplicaciones dinámicas que sirven de ayuda en el cálculo o la representación. 
Herramientas que permiten realizar simulaciones de procesos y crear o resolver situaciones matemáticas, como pueden ser las relacionadas con la estadística.  
Herramientas de programación, inspiradas en lenguajes como Logo o Smalltalk, que posibilitan la creación y publicación por los alumnos de aplicaciones interactivas, animaciones, simulaciones, juegos y otros recursos educativos relacionados con contenidos educativos en matemáticas. 
Propuestas de actividades para alumnos, que, en algunos casos se asemejan a las tradicionales, pero que en otros, como veremos, ofrecen alternativas educativamente novedosas.
Se pone como ejemplo de herramientas que permiten realizar simulaciones mi macroaplicación "Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria".  
Como ejemplo de este tipo de herramientas proponemos la página de Juan García Moreno, el Laboratorio virtual de Azar y Probabilidad (Figura 7): http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2010/labazar/index.htmlFigura 7. Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria (Juan García Moreno). Dirigido a los últimos ciclos de Primaria y los primeros cursos de Secundaria, es un recurso multimedia en forma de página web, que ofrece multitud de instrumentos interactivos, que permiten una metodología basada en la experimentación.
En el apartado de propuestas de actividades para alumnos se contraponen mis propuestas a otras más frecuentes de corte conductista :
Prácticamente todas las aplicaciones que hemos visto coinciden en que, además de que sólo contienen los tradicionales problemas aritméticos escolares, son bastante sencillas, tanto en lo referente a su diseño como al modelo didáctico subyacente, pues responden al modelo conductista de refuerzo de los aciertos/errores del alumno. 
La página de Juan García Moreno titulada “Resolución de Problemas – Metamodelos TIC” (...), de muy buena calidad técnica, como todos sus productos, tiene una concepción totalmente distinta, ya que presenta otro tipo de problemas:
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2009/problematic/
Esta página presenta problemas aritméticos escolares, geométricos, de razonamiento lógico, o de búsqueda exhaustiva, y los agrupa en torno a seis clases o “metamodelos” (García Moreno,2011). Propone no sólo distintos tipos de problemas, sino soluciones guiadas y sistemas de ayuda al alumno. Las distintas alternativas para presentar datos o responder a los problemas planteados son sumamente variadas: introducir números, completar textos, seleccionar o desplazar elementos, construir figuras, etc. Los contenidos muy bien adaptados para alumnos de Primaria, no coinciden con los habitualmente propuestos en los libros de texto (...).
La página presenta, por otra parte, unas guías didácticas sencillas y sumamente interesantes en las que se describen pormenorizadamente el contexto y los contenidos de la aplicación, objetivos que se persiguen y se hace referencia a su interés didáctico. Como se puede constatar, las aplicaciones propuestas presentan una enorme variedad de procedimientos de resolución: insertar números, completar texto lineal y texto organizado en tablas (con completado asistido y corrección instantánea), seleccionar elementos de la pantalla, desplazar elementos gráficos, desplazar elementos textuales o gráficos, realizar pesadas en una balanza virtual con funcionamiento realista, argumentar sobre imágenes y modelos dinámicos que expresan relaciones cuantitativas, trazar líneas y caminos, construir, dibujar, componer y descomponer (cortar) figuras, etc. (García Moreno, 2011)