domingo, 22 de enero de 2017

Cálculo estratégico de áreas.


Cálculo estratégico de áreas.


En algunas comunidades autónomas del estado español (Comunitat Valenciana, por ejemplo) aparece como contenido de 2º Ciclo (en 4º concretamente) la determinación y cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos utilizando unidades no convencionales.

No es el caso de Andalucía,  a pesar de que sí que aparecen contenidos relativos a perímetros de figuras, ángulos,... en el 2º ciclo de Primaria. En Andalucía, contenidos y procedimientos relativos a la cantidad de superficie que ocupa una figura (un atributo visible y cuantificable de la misma) no aparece de manera explícita hasta el 3º ciclo de Primaria…

No obstante, en primer ciclo (Andalucía)  ya aparecen contenidos tales como:
  • Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y descomposición.
  • Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos.

En segundo ciclo (Andalucía) se contemplan investigaciones sencillas, que pueden estar relacionadas con la geometría y la medida, se explicitan criterios para el perímetro tales como:

  • MAT.2.12.1. Comprende el método de cálculo del perímetro de cuadrados, rectángulos,triángulos, trapecios y rombos. (CMCT).
  • MAT.2.12.2. Calcula el perímetro de cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios y rombos, en situaciones de la vida cotidiana. (CMCT)

También se “agrupan” en un mismo nivel de dificultad longitud, masa y capacidad, por la regularidad (de 10 en 10) que presentan sus unidades en el SMD y quizá, también, por el peso de la tradición escolar que pone el énfasis en reducir los atributos geométricos a su cuantificación y expresión en diferentes unidades y trabajar las equivalencias de unidades más que las propias estrategias de determinación y cálculo.

En 3º ciclo (Andalucía) ya aparecen contenidos tales como:
  • 3.1. Unidades del Sistema Métrico Decimal de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
  • 3.7. Desarrollo de estrategias para medir figuras de manera exacta y aproximada.
  • 3.11. Comparación de superficies de figuras planas por superposición, descomposición y medición.
  • 3.12. Sumar y restar medidas de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
  • 4.10. Perímetro y área. Cálculo de perímetros y áreas.

Si presento esta aplicación como adecuada "a partir de 4º" es debido a mi experiencia en el aula. Los/as alumnos/as de este nivel comprenden (más con aplicaciones de geometría dinámica como ésta) estrategias, basadas en la composición y descomposición de figuras y en la reagrupación de sus partes haciendo uso de traslaciones traslación y giros; comprenden sencillas relaciones de reunión o multiplicidad en las figuras que pueden aplicar a la determinación de la cantidad de superficie (área) de éstas y su expresión en unidades no convencionales.

La aplicación presenta diferentes colecciones de figuras que pueden ser aprovechadas de múltiples formas, tanto de manera individual como grupal y colectiva, y/o que pueden servir de estímulo para otras tareas no propuestas en la misma:

Elegir una figura y explicar (oralmente y/o por escrito) el procedimiento seguido para expresar su área (cantidad de superficie) en unidades no convencionales.

Formar familias de figuras de igual área atendiendo a diferentes criterios ( con 4 escuadras, con 8 escuadras, con 9 triangulos equiláteros idénticos, ...

martes, 17 de enero de 2017

Manipulativos físicos y virtuales en la enseñanza aprendizaje de la matemática.

El número 75 de UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas (enero de 2017) lleva por título "Virtuales y manipulativos se complementan". Se trata de un monográfico en el que hemos aportado nuestra visión sobre esta temática Antonio Pérez Sanz, Joan Jareño, Raúl Fernández, José Ángel Murcia, Lluis Cros y yo.

Aquí ofrezco el artículo que lleva mi firma en el que, de manera bastante condensada, ofrezco mi experiencia y conocimientos sobre el tema:







miércoles, 11 de enero de 2017

Jugando con la trama de puntos interactiva...

Comprobando el correcto funcionamiento de la aplicación Trama de puntos interactiva, me encontré con una situación que llamó poderosamente mi atención. Aunque lo que voy a exponer a continuación excede el nivel al que suele ceñirse este blog, puede que algunos/as lectores/as encuentren útiles algunas de la reflexiones que aquí expongo.


Ante todo, lo que sigue es consecuencia directa de la posibilidad de "manipulación libre" que implemento en la gran mayoría de las aplicaciones que diseño, lo cual les confiere un enorme potencial para favorecer "el aprendizaje por descubrimiento".

 

La situación tiene que ver con la trama ortométrica y un problema de geometría euclídea. Elegí un punto como centro y comencé a trazar circunferencias concéntricas de manera que la sucesión de éstas fuera alcanzando los puntos de la trama sin dejar ninguno de ellos sin estar contenido en alguna circunferencia.

 
Un problema en la trama de puntos ortométrica. ¿Regularidad o indeterminación?

Lo que me llamó poderosamente la atención es que la serie de las circunferencias obtenidas parece no seguir ningún patrón, a pesar del orden tan patente que organiza los puntos de la trama. Se pueden encontrar dos circunferencias concéntricas consecutivas de radios muy próximos y la siguiente distanciarse "bastante" de las anteriores...

 

Evidentemente, si tomamos como unidad la distancia mínima entre dos puntos próximos de la trama (que podemos considerar dentro de un plano, es decir, infinita), la primera circunferencia tiene de radio 1, la segunda tiene de radio (raíz cuadrada de 2),... y la diferencia entre los radios de dos circunferencias consecutivas va a ser siempre menor que 1.

 

Un problema en la trama de puntos ortométrica. ¿Regularidad o indeterminación?

Me fijé en diferentes variables (número de puntos de la trama pertenecientes a cada circunferencia, radio de las circunferencias trazadas, coordenadas de los puntos,…)

 

Para la determinación de la primera variable, basta realizar una adecuada y exacta construcción de las circunferencias (para ello la trama de puntos interactiva es ideal aunque limitada) y con saber contar.


Así, la serie del número de puntos de la trama perteneciente a cada circunferencia es :

 4, 4, 4, 8, 4, 4, 8, 8, 4, 8, 4, 8, 12, 8, …. 


Parece ser que una circunferencia cualquiera de esta serie de circunferencias concéntricas siempre va a tener un número de puntos de la trama múltiplo de 4. Pero, ¿presenta esta serie alguna regularidad o patrón que permita obtener la fórmula que nos dé el número de puntos de la trama perteneciente a una circunferencia cualquiera en función  del número de orden de ésta? ¿Se podrá encontrar una circunferencia en la serie que contenga un número de puntos de la trama que sea múltiplo de 4 y tan grande como deseemos?

 

Aunque no lo he investigado a fondo, yo personalmente no encuentro ningún patrón que permita determinar con exactitud la serie de números anterior.

 

Para la determinación de la serie ordenada de números correspondientes a los radios de las circunferencias, se necesita hacer uso del famoso teorema de Pitágoras ( que es ya un contenido de Educación Secundaria). Aplicando este teorema se obtiene con facilidad la serie de radios:


(Aunque las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos - en verde- son números naturales, he preferido unificar, en forma de raíces, la presentación de la serie)

La situación anterior se puede formular de otras maneras equivalentes: Dada una circunferencia con centro en el origen de coordenadas cartesianas, determinar los radios de las circunferencias que tienen al menos 4 puntos cuyas coordenadas son números enteros. Así la circunferencia de radio 1 tendría 4 puntos de coordenadas enteras [(0,1), (-1,0),(0,-1) y (1,0)]. 

Con un radio mayor que 1 y menor que raíz de 2 no existe ninguna circunferencia con centro en el origen (0,0) que tenga puntos con coordenadas enteras...


¿Habrá alguna circunferencia con centro en el origen de coordenadas que tenga un número (múltiplo de 4) tan grande como se desee de puntos con coordenadas enteras?...


¿Cómo determinar los radios de las circunferencias que tienen al menos cuatro puntos de coordenadas enteras? Yo no soy capaz de encontrar ningún patrón en la serie de radios de estas circunferencias (no tiene por qué haberlo). 

Por analogía, se puede plantear la misma situación en la trama isométrica. Tampoco encuentro ningún patrón a excepción de que los puntos de la trama contenidos en cada circunferencia son múltiplos de 6 : 6, 6, 6, 12, 6, 6, 12, 6, 12, 12, 6, 6, ......., 18,...



Un problema en la trama de puntos isométrica. ¿Regularidad o indeterminación?

Un problema en la trama de puntos isométrica. ¿Regularidad o indeterminación?


Casi con toda seguridad, esta situación ya habrá sido matematizada anteriormente por alguien. Yo lo desconozco y, por si acaso, la dejo aquí, como problema abierto a la comunidad de "matemáticos"...
(Agradecería mucho cualquier información, enlace o comentario al respecto)

Algunas reflexiones relacionadas con lo anterior:

1.- La búsqueda de patrones o regularidades debe ser el motor fundamental de la actividad matemática en cualquier nivel. Se puede llevar a cabo desde Educación Infantil, constituye una valiosa fuente de aprendizaje y es imprescindible en una matemática enfocada al aprendizaje por descubrimientoEs un contenido procedimental general de carácter transversal con respecto a todos los contenidos de la Matemática y de las otras disciplinas.

Ejemplo: Hoy mismo mis alumnos/as de 5º han ampliado considerablemente los criterios de divisibilidad que se dan en el libro de texto (por 2, por 3, por, 5, por 9 y por 10) con otros descubiertos y expresados por ellos (por 6, por 15, por 20, por 25, por 50, por 100, por 200, por 250, por 500,...) a partir de la visualización en la PDI de series de múltiplos de los números anteriores.

Descubriendo regularidades. Criterios de divisibilidad

2.- No sólo existen patrones numéricos. Es fundamental trabajar los patrones geométricos, porque Geometría y Numeración están estrechamente relacionados, como es el caso de la situación con la que he iniciado este post, y porque son especialmente atractivos e intuitivos y favorecen la captación y expresión de las regularidades... 
( Ver Trama de puntos interactiva  y  Regularidades en matemáticas. Patrones)

3.- La propia matemática se constituye, así, en un contexto ideal en el que podemos plantear numerosas situaciones atractivas para descubrir patrones y regularidades en relación con cada uno de los contenidos que se tratan en el currículo de matemáticas.