domingo, 19 de marzo de 2017

El modelo de barras en el Cálculo y en la Resolución de PAEV

No cabe duda de que la utilización de modelos gráficos para representar tanto las cantidades (conocidas y desconocidas) como las relaciones involucradas favorece la visualización, estructuración y comprensión en la resolución de determinados problemas y orienta al alumno hacia la determinación de las operaciones que debe realizar con los datos.

Si a ello unimos la verbalización de las magnitudes involucradas, en forma de etiquetas de texto, el modelo resultante es un potente heurístico en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal.


El modelo de barras en el cálculo y en la Resolución de PAEV


En esta aplicación utilizo el modelo partes-todo con regletas de Cuisenaire para apoyar el cálculo básico tanto en la estructura aditiva como en la multiplicativa. También utizo el modelo, de manera más ortodoxa, en la resolución de PAEV de estructura aditiva de nivel1.

El modelo que nos ocupa aquí, el "modelo de barras", modelo "parte-todo" ("part-whole"), fue desarrollado en los años 80  y muy utilizado en el "Método Singapur" de matemáticas. Se ha expandido a lo largo del mundo durante los últimos años debido a las altas calificaciones de los alumnos de Singapur en las pruebas PISA.(***) Se trata de un modelo necesario y fundamental por su adecuación a numerosas situaciones, aunque pueden desarrollarse variantes del mismo y considero que no necesariamente se deben atener a la forma en que es comúnmente presentado ya que no deja de ser un caso particular de la representación gráfica de relaciones partes-todo.

Los conceptos TODO y PARTE son ineludibles en la enseñanza-aprendizaje de la matemática. No se puede hablar de matemática relevante si los/as alumnos/as no hacen un uso constante del análisis (descomposiciones diversas de un mismo TODO) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas PARTES).

Es obvio afirmar que prácticamente todos los libros de texto, desde hace mucho tiempo, han ilustrado, al menos en la representación de fracciones, la relación entre el todo y una parte…

DidactmaticPrimaria utiliza un verdadero derroche de modelos gráfico-dinámicos para favorecer la manipulación, visualización, estructuración y comprensión en la resolución de problemas y retos de todo tipo. Aunque las aplicaciones digitales de DidactmaticPrimaria conforman un proyecto digital que va más allá de métodos específicos de matemáticas, no cabe duda de que apuesta por “experimentar el placer de descubrir” a través de una gran riqueza y variedad de materiales manipulativos (como en el método Montessori, por ejemplo), o por potenciar la comprensión y metacognición a través de modelos relevantes como el modelo de barras del método Singapur..  Así, por ejemplo, he desarrollado variantes dinámicas de modelos partes-todo en:

Figura1: centena dinámica

Figura2: Modelo para resolución asistida de
problemas de fracciones y porcentajes





















Figura 3:  Modelo para resolución asistida de problemas de fracciones.




Figura 4:  Modelo para resolución asistida de problemas de porcentajes.

Una centena dinámica (Figura 1).


Diferentes aplicaciones que he realizado para la resolución asistida de problemas con fracciones y porcentajes... (Figuras 2, 3 y 4 - en una clase con 25 alumnos/as 2 de ellos representan el 8% )



En problemas de móviles basados en el razonamiento aritmético. 
(Figuras 5A y 5B) 





Figura 5.A : "Modelo de barras implícito" en un problema aritmético de móviles.

Figura 5.B : Se han añadido las barras implícitas (que no eran visibles)

En este último caso podemos considerar que las barras están implícitas (Figuras 5 A y 5B) y que se podrían hacer visibles... La barra correspondiente al TOTAL está representada como fija y tiene en sus extremos a los coches que marchan en sentidos opuestos. Podemos asociar mentalmente una barra PARTE a cada coche, con extremos en él y en el punto de encuentro de ambos (el deslizador móvil que determina los valores de las partes y con la que se resuelve el reto propuesto)…


En el documento "El modelo de barras: unaestrategia para resolver problemas de enunciado en Primaria", Sergio Urbano Ruiz, José Antonio Fernández Bravo, y María Pilar Fernández Palop, todos ellos de la Universidad Camilo José Cela, España, realizan un análisis interesante del modelo.

(***): Una circunstancia a tener en cuenta es que Singapur es una ciudad Estado de cinco millones de personas, con un PIB per cápita de 81.000 euros (el de España, por ejemplo, es de unos 28.000 euros).



sábado, 11 de marzo de 2017

Geometría 3D. Construcciones policúbicas. Codificación y determinación.

Construcciones policúbicas. Codificación y determinación.


Ofrezco aquí esta versión mejorada de mi aplicación "codifica_policubos", para ilustrar lo que entiendo por "MANIPULACIÓN AUMENTADA".

En entradas anteriores (Manipulativos físicos y virtuales en la enseñanza aprendizaje de la matemática, por ejemplo) ya he tratado sobre este concepto o atributo. Se trata de una variable técnico-didáctica esencial en el diseño y desarrollo de una gran parte de mis aplicaciones y de una característica diferenciadora de las mismas estrechamente relacionada con la manipulación libre y el aprendizaje por descubrimiento.

En las diferentes escenas que integran esta aplicación, se relacionan de manera interactiva construcciones policúbicas con sus correspondientes códigos, de dos tipos: código gráfico, por capas, en el que cada cubo de una determinada capa se representa con un cuadrado; y código numérico, en el que cada número representa la cantidad de cubos apilados sobre una misma base cuadrada...

Dada una determinada construcción policúbica, resulta tremendamente fácil transformarla en otras diferentes. La aplicación muestra, al instante, la variación en el código (gráfico o numérico) cuando se mueve un cubo de lugar, o cuando se añade o quita un cubo a la construcción policúbica... Esta inmediatez interactiva a la hora de registrar y mostrar los cambios producidos no es simplemente un elemento interactivo de carácter estético o motivacional, sino un elemento clave en la comprensión de los procedimientos, métodos y conceptos que se tratan... 

Si bien la "MANIPULACIÓN AUMENTADA" se puede lograr casi específicamente con el uso de aplicaciones digitales y multimedia adecuadas, son pocas las aplicaciones de este tipo que se orientan hacia el desarrollo de procesos, métodos y actitudes; y menos, aún, las que potencian en su diseño e interfaz esta potente variable al servicio del aprendizaje por descubrimiento. Al respecto, estoy preparando un documento interactivo que permita hacer, con la máxima objetividad, una clasificación y comparativativa de diferentes proyectos digitales para Matemáticas_Primaria.

Precisamente sobre características relacionadas con la integración de diferentes conocimientos (sobre la disciplina - matemáticas-, tecnológicos y pedagógicos) en los proyectos digitales multimedia para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en Primaria, y sobre todo sobre la manipulación con manipulativos virtuales, ilustrando cada afirmación, tratará el minicurso que impartiré en el VIII CIBEM Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, que se celebrará en Madrid  del 10 al 14 de julio de 2017.

VIII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática


Acceso a las actas del VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática realizado en Montevideo (Uruguay), en setiembre de 2013.



domingo, 5 de marzo de 2017

la resolución de problemas de Matemáticas en la formación inicial de Profesores de Matemáticas.


El capítulo 10 ( de los 14 que conforman este manual) está dedicado a la "Resolución de problemas en matemáticas y TIC. Propuestas actuales y perspectivas de futuro". Sus autores son Luis M. Casas García y José Luis Torres Carvalho.

Dividen las propuestas actuales, de forma sintética, en cinco áreas:
– Propuestas teóricas sobre resolución de problemas, entre las que destacan las recomendaciones y guías de resolución de problemas, tanto para profesores como, en algunos casos, para alumnos. 
Herramientas para la resolución de problemas tales como calculadoras, hojas de cálculo o aplicaciones dinámicas que sirven de ayuda en el cálculo o la representación. 
Herramientas que permiten realizar simulaciones de procesos y crear o resolver situaciones matemáticas, como pueden ser las relacionadas con la estadística.  
Herramientas de programación, inspiradas en lenguajes como Logo o Smalltalk, que posibilitan la creación y publicación por los alumnos de aplicaciones interactivas, animaciones, simulaciones, juegos y otros recursos educativos relacionados con contenidos educativos en matemáticas. 
Propuestas de actividades para alumnos, que, en algunos casos se asemejan a las tradicionales, pero que en otros, como veremos, ofrecen alternativas educativamente novedosas.
Se pone como ejemplo de herramientas que permiten realizar simulaciones mi macroaplicación "Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria".  
Como ejemplo de este tipo de herramientas proponemos la página de Juan García Moreno, el Laboratorio virtual de Azar y Probabilidad (Figura 7): http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2010/labazar/index.htmlFigura 7. Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria (Juan García Moreno). Dirigido a los últimos ciclos de Primaria y los primeros cursos de Secundaria, es un recurso multimedia en forma de página web, que ofrece multitud de instrumentos interactivos, que permiten una metodología basada en la experimentación.
En el apartado de propuestas de actividades para alumnos se contraponen mis propuestas a otras más frecuentes de corte conductista :
Prácticamente todas las aplicaciones que hemos visto coinciden en que, además de que sólo contienen los tradicionales problemas aritméticos escolares, son bastante sencillas, tanto en lo referente a su diseño como al modelo didáctico subyacente, pues responden al modelo conductista de refuerzo de los aciertos/errores del alumno. 
La página de Juan García Moreno titulada “Resolución de Problemas – Metamodelos TIC” (...), de muy buena calidad técnica, como todos sus productos, tiene una concepción totalmente distinta, ya que presenta otro tipo de problemas:
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2009/problematic/
Esta página presenta problemas aritméticos escolares, geométricos, de razonamiento lógico, o de búsqueda exhaustiva, y los agrupa en torno a seis clases o “metamodelos” (García Moreno,2011). Propone no sólo distintos tipos de problemas, sino soluciones guiadas y sistemas de ayuda al alumno. Las distintas alternativas para presentar datos o responder a los problemas planteados son sumamente variadas: introducir números, completar textos, seleccionar o desplazar elementos, construir figuras, etc. Los contenidos muy bien adaptados para alumnos de Primaria, no coinciden con los habitualmente propuestos en los libros de texto (...).
La página presenta, por otra parte, unas guías didácticas sencillas y sumamente interesantes en las que se describen pormenorizadamente el contexto y los contenidos de la aplicación, objetivos que se persiguen y se hace referencia a su interés didáctico. Como se puede constatar, las aplicaciones propuestas presentan una enorme variedad de procedimientos de resolución: insertar números, completar texto lineal y texto organizado en tablas (con completado asistido y corrección instantánea), seleccionar elementos de la pantalla, desplazar elementos gráficos, desplazar elementos textuales o gráficos, realizar pesadas en una balanza virtual con funcionamiento realista, argumentar sobre imágenes y modelos dinámicos que expresan relaciones cuantitativas, trazar líneas y caminos, construir, dibujar, componer y descomponer (cortar) figuras, etc. (García Moreno, 2011)

Contextos lúdicos para iniciarse en la descomposición aditiva y en la realización de sumas y restas mentales

Contextos lúdicos para la descomposición aditiva e iniciación en suma y resta mental