domingo, 19 de julio de 2020

Laberintos y Topología (Infantil y Primaria)


Suele pensarse que la Topología o “Geometría de la posición” es una parte complicada de la Matemática. Pero dado que ésta no se interesa por la medida sino solamente por la forma y en cómo ésta puede variar sin provocar roturas, hay elementos de esta disciplina que aparecen antes que el concepto de medida (nociones de posición, dentro-fuera, interior-exterior, formas topológicamente equivalentes, conexiones entre agujeros, caminos dentro de laberintos, etc). Estos aspectos se pueden abordar adecuadamente desde edades muy tempranas. También se puede progresar en el reconocimiento de propiedades y regularidades de carácter topológico a lo largo de la Etapa Primaria.


La construcción de la noción de “espacio” constituye una de las bases lógico-matemáticas fundamentales que sirven para estructurar el futuro pensamiento abstracto-formal. Para garantizar la comprensión de los principios fundamentales de la geometría en el futuro es de suma importancia que los docentes, mediante la  selección correcta de estrategias de enseñanza y actividades de aprendizaje adecuadas, promuevan el desarrollo de nociones topológicas, proyectivas y euclidianas. 
En “La representación del espacio en el niño”, Jean Piaget y Bärbel Inhelder defienden que los conceptos fundamentales y primeros del espacio (como espacio representado y no  como concepción global del mismo) no son euclidianos, sino “topológicos”. Es decir, basados en correspondencias que involucran relaciones de proximidad (o de vecindaje), relaciones de separación, relaciones de orden o sucesión espacial (orden lineal y circular), relaciones de envolvimiento y continuidad. Afirman que "el orden genético de adquisiciones de las nociones espaciales, es inverso al orden histórico del progreso de la ciencia", que las relaciones topológicas son consideradas con anterioridad a las  proyectivas y  euclidianas por parte del niño.

Aproximadamente a partir de los dos años, las relaciones espaciales más sencillas se expresan mediante palabras como: “arriba”, “abajo”, “encima”, “debajo”, “más arriba”, “más abajo”, “delante”, “detrás”,…; dichas expresiones contribuyen eficazmente a alcanzar las nociones espaciales. En esta etapa el niño no puede distinguir, por ejemplo, un círculo de un cuadrado porque ambas son figuras cerradas, pero si las puede diferenciar de la figura de una herradura. Posteriormente logra distinguir líneas curvas de rectas y figuras largas de cortas, así como también diferenciar el espacio interior y exterior de una frontera dada o determinar posiciones relativas al interior de un orden lineal.
Luego aparecen progresivamente relaciones de tipo proyectivo. La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en nuestro "ojo" nos parece ser solo un punto, en el plano proyectivo, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrás. Equivale a la proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana tridimensional. Estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida.
Posteriormente, aparecen las relaciones de tipo euclidiano que tratan de la representación de las longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como propiedades que permanecen constantes, cuando las figuras representadas son sometidas a transformaciones rígidas.

No cabe duda que en la resolución de los laberintos usuales (que suelen proponerse desde las edades más tempranas) se ven involucradas nociones topológicas básicas (interior, exterior, dentro, fuera, abierto, cerrado,…) y que ya desde Infantil (4-5 años) se manejan nociones básicas de tipo proyectivo y euclidiano.


Laberintos. Educación Infantil. Proyecto MATE.TIC.TAC


El Proyecto MATE.TIC.TAC. propone la realización de laberintos clásicos (o más usuales) desde Infantil. Concretamente propone dos procedimientos diferentes de resolución de laberintos: trazado del recorrido a mano (mediante uno o más trazos) y teledirigiendo a un muñeco mediante las teclas (arriba, abajo, izquierda y derecha) de una consola presente en pantalla.






También en primer ciclo se proponen laberintos de recorrido con muñeco teledirigido, solo que más complejos que en Infantil y en los que se van introduciendo variantes (varias entradas, varios salidas, varios recorridos válidos,...




Los laberintos clásicos siempre tienen una solución, una entrada y una salida. A partir del 2º ciclo de Primaria, el proyecto MATE.TIC.TAC  propone una nueva categoría de laberintos que no se ajustan a la noción clásica de "laberinto" y que conectan con aspectos topológicos que no siendo elementales pueden ser comprendidos y utilizados por alumnos/as de Primaria.

Topológicamente equivalentes. ProyecTo MATE.TIC.TAC

MATE.TIC.TAC propone "LABERINTOS CON PLATAFORMAS Y PUENTES" que son topológicamente equivalentes a grafos con nodos y arcos. Ahora se puede imponer una restricción al recorrido: que pase por cada uno de los puentes una sola vez. Se trata de una clase especial de "laberintos" porque puede que no tenga solución, o que tenga múltiples soluciones diferentes, dependiendo de la plataforma en que se inicie el recorrido.

Los/las lectores/as más expertos habrán reconocido, de inmediato, que se trata de una adaptación para escolares, con variantes, del famoso problema de "Los puentes de Königsberg" (origen de la Topología) y que esto enlaza directamente con la "Teoría de Grafos".

Los puentes de Königsberg. Proyecto MATE.TIC.TAC


"LABERINTOS CON PLATAFORMAS Y PUENTES" puede ser considerado como una ampliación del  excepcional "Taller de Topología para alumnos/as de Primaria" (ver vídeo), del proyecto MATE.TIC.TAC, incluido en el el bloque de "procesos, métodos y actitudes" del 3º ciclo. En dicho  taller se proponen múltiples figuras para ser recorridas de un solo trazo, se muestran  transformaciones topológicas que permiten identificar figuras topológicamente equivalentes. Se analizan, codifican y estudian recorridos y soluciones, buscando el descubrimiento de regularidades. Se puede realizar cualquier grafo colocando nodos y arcos; y evaluar si puede, o no, ser recorrido de un solo trazo. De manera concreta se puede analizar el problema de "Los puentes de Königsberg" y variantes con menos o más puentes....

Pero mientras que en "Taller de Topología" los retos propuestos se resuelven mediante trazado "a mano", "de un solo trazo", aquí se ha añadido el atractivo de adaptarlos para que puedan ser recorridos mediante un monigote teledirigido. De esta manera, esta misma aplicación se adecúa y se ofrece para alumnos/as de 2º ciclo de Primaria (obviando, si es necesario, la pretensión de que descubran patrones topológicos...)


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